分析工具库20

Excel分析工具库系列教程之20

傅立叶分析

重庆三峡学院关文忠

1. 傅立叶分析基本知识简介

傅里叶分析Fourier analysis 是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。Excel中的傅立叶分析是求解离散型快速傅立叶变换和逆变换。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform,FFT），是离散傅里叶变换的快速算法，也可用于计算离散傅里叶变换的逆变换。快速傅里叶变换有广泛的应用，如数字信号处理、计算大整数乘法、求解偏微分方程等等。在经济管理中可用于判断时间序列周期性。

2. 傅立叶工具时间序列频谱分析中的应用

对于时间序列，可以展开成傅立叶级数，进行频谱分析。对于时间序列xt其傅立叶级数展开式为展开成傅立叶级数：

傅立叶分析工具应用操作步骤：

（1）输入数据并中心化：时间、时间序号t、观测值x_t、中心化(减x平均值）、求频率f_i(=i/N).

（2）由傅立叶分析工具求中心化数据序列的傅立叶变换。

（3）IMREAL和IMAGINARY提取实部和虚部，按公式5计算频率强度（或由IMCONJUGATE求得共轭复数，再由IMPRODUCT求得两共轭复数乘积，得频率强度。

（4）以频率为横坐标、频率强度为纵坐标，绘制频率强度图。

（5）分析周期性。由频率强度最大的所对应的频率倒数即得周期。

例：某时间序列如图 20?1.

 

 

图 20?1 时间序列观测值及其图形

由图可见，序列显现周期性变化，在整个时期范围内，周期为4.下面利用傅立叶分析工具进行频谱分析。

（1）在B18单元格输入“=AVERAGE(B2:B17)”求得观测值的平均值；在C2单元格输入“=B2/B$18”，将观测值中心化（均值为0,并仍保持原序列的方差），并复制到C3:C17

 

图 20?2傅立叶变换及频率强度计算过程

（2）从“数据”选项卡选择“数据分析”｜选择“傅利叶分析”弹出对话框并设置如图20?3：

 

图 20?3 傅利叶分析对话框

（2）单击“确定”生成傅立叶变换序列（图20?2 D列）。

（3）在E2单元格输入“=IMCONJUGATE(D2)”求得傅利叶变换值的共轭复数，并复制到E3:E17；在F3至F17输入1至15,列出周期序列；在G3单元格输入“=F3/16”求得频率，并复制到G4:G17；在H3单元格输入“=IMPRODUCT(D3:E3)*8”（即根据公式5）求得频率强度，并复制到H4:H17。（见图3）

（4）以G3:H17为源数据，插入散点图，得图20?4所示频率强度频谱图。

 

图 20?4频率强度频谱图

由图可见，图形完全对称，通常只取左半部分。频率强度最大的所对应的频率为0.25,其倒数为4,即周期为4.