1811 年，高斯给朋友弗里德里希·贝塞尔写了一封信。在信中，高斯说：实数的范围在几何上可以用一条直线表示，那么同样地，“用一个无限的平面，也可以具体表示出所有的数，包括实数和虚数。这个平面以 为横坐标， 为纵坐标，平面上每一个点都表示数 。”如今的数学家以数学王子（高斯）和让-罗贝尔·阿尔冈的名字为这个平面命名，称之为阿尔冈-高斯平面。阿尔冈是一个喜爱数学的瑞士人，1866 年，他出版了一本没有书名的小册子，阐述了如何用几何方式表示复数。高斯在 1832 年公开发表了他的想法。高斯认为，直到那时候，虚数仍没有得到正确的看待，仍被一片“神秘的黑暗”所笼罩。部分原因也在于它的名字。在他看来，如果人们在提到 、 和 的时候，能叫它们正向单位（direct）、反向单位（inverse）和旁侧单位（lateral units），而不是叫正数单位、负数单位和虚数单位（甚至叫不可能存在的单位），那么一切都会清晰明了。
但这不仅仅是一个语言上的问题。十五年过去了，杰出的数学家柯西也提到了这一点。他为巴黎综合理工学校的学生撰写了一本教材——《分析教程》（1821 年）。柯西在书中说：像 这样的表达式是符号表达式，“按惯例对它进行字面意思上的解读，是不准确的或者说是没有意义的，但是运用这种表达式又能推导出正确的结果”。它们只是平面图上的点或者旁侧单位！人们一直在执着地寻找能够表示符号 的东西，这种“必须找到”的念头使人殚精竭虑，而柯西的观点正好消除了这个“必要性”。
那个在柯西眼里令人绞尽脑汁的符号，数十年后也同样折磨着穆西尔笔下的小说主人公——青年特尔莱斯 。在一节数学课后，特尔莱斯问朋友本伯格是否理解了关于虚数的事情。“没什么难的，”本伯格回答说，“只要记住计算单位是 就行了。”“可问题就在这里，”特尔莱斯反驳说，“因为 不存在啊。”的确，每个数字，无论正数还是负数，只要升平方之后，得到的值都是正数。在这点上你们一定和特尔莱斯意见一致。他朋友的回答是：“说的对极了。可是为什么不能同样给一个负数开平方呢？出来的结果自然不是实数，事实上我们也是把它定义为虚数。就好像我们说，这个位置平常都有人坐，所以我们今天也给他摆上一张椅子；即便与此同时他死去了，我们还是假装他正在来的路上。”特尔莱斯又反驳说：“但如果在数学上已经百分之百确定不可能给一个负数开平方，那该怎么办呢？”“我们就假装它可以，照样给它开方。”本伯格回答说，“它总会得出一个结果。追根究底，无理数的计算不也是这样吗？尽管你一直在计算，却永远除不尽，得不出一个分数，也不会有结果。两条平行线在无限延长的过程中相交，你想给这样的事实赋予什么意义呢？我觉得，如果人太钻牛角尖的话，这世上就连数学都不存在了。”
不知道你们怎么想，反正这番话没有说服特尔莱斯，尽管他不得不承认“令人惊讶的是，这些虚数或者说不可能存在的数可以进行运算，最后得出一个具体的结果”。因此，特尔莱斯转而向老师求助。老师立马“承认这些虚数的值确实不存在。哈哈，对一个年轻的学生来说，这个问题可是块难啃的骨头”。所以，如果你们也想不通这个问题，不要难过，你们不是一个人。你们想想，一个在享有盛誉的维也纳学院就读的青年学生也同样百思不得其解。
可老师接下来是这样向特尔莱斯解释的（他以“您”称呼这位青年学生）：“这些数学概念仅仅只是纯粹的数学思想的必需品，您应该接受这个观念。”呵，这样说可不是什么了不起的解释！老师接着劝告他：“您想一想，您仍处在教学的初级阶段。关于您必须学习的诸多内容，很难给出一个正确解释。大部分的学生都没有察觉这一点，真是一件幸事。”他竟然还说了这样的话！那要是有人察觉了呢？如果有这种可能，老师说他也会很高兴，可“我只能说：亲爱的朋友，你只要单纯地相信它。等未来某一天，你懂的数学知识有现在的十倍多，那时你就会懂了。但是现在，你只要相信它！”。总之，像数学这样卓越的理性科学，其定理竟沦为了教条！“你只要单纯地相信它！”
当你们在学校里学习数学时遇到困难，有多少次听到这样的话呢？举个简单的例子，“负负得正”，没有人能够给司汤达/亨利·勃吕拉一个清楚的解释。老师是这样向他介绍“负负得正”的——“它是代数这门学科最重要的基础法则之一”，特别像在介绍一种“醋的酿法”，以使他最终相信“负负得正”“必须是正确的，因为我们在运算中应用这个法则得出的结果都是'正确而无可非议’的”。那本伯格提到两条平行线在无限延长的过程中相交，又怎么说呢？当亨利·勃吕拉在一本书上读到这条定理时，“感觉自己在读一本教理问答手册，还是最陈旧的那本”。和特尔莱斯一样，他也“徒劳地向夏倍老师寻求解释”。夏倍老师是这样回答亨利的：“孩子，”他以父亲的口吻说，“孩子，你以后会懂的。”“别无他法”，可避而不谈是没有用的。要相信虚数，如同坚信一条教理。“因为，”老师对特尔莱斯说，“数学是一个独立的世界，你必须在这个世界生活很长时间，才能感受到其中所必需的一切。”
事实上，那个“独立的世界”并非全然独立，因为它帮助我们认识了各种物理现象和身边的自然世界，也让我们理解了一些看似不真实存在的事物，比如一位博洛尼亚数学家在四百多年前的一个宿命时刻发明的虚数。发明的？确定吗？约十年前，普林斯顿的物理学家弗里曼·戴森在一场爱因斯坦的讲座上说：数学家们“一直把复数看成数学家发明出来的人造物，仿佛它是从现实生活中抽离出的一个有用且精致的抽象概念”。他们从未想过，实际上，原子就是在这个由他们发明出来的人造记数系统上运行的。他们没有想到，大自然竟然先我们一步与虚数有了交集。戴森的话是真的吗？薛定谔曾经从光波理论模型出发，写出了一个描述粒子运动的方程。戴森认为，这个方程没有用处，也毫无意义，直到薛定谔在方程里加上了 。突然之间，方程拥有了意义，薛定谔发现方程的解对应玻尔模型的量子化轨道。戴森总结说：总而言之，“那个 意味着参与自然界运转的不是实数，而是复数”。这让薛定谔，还有其他许多人，都惊诧万分。
20 世纪 60 年代初，马宁谈到了在量子物理学家之间广为流传的一句话，你们还记得他说了什么吗？在那个时代，尤金·维格纳的一篇文章也时常被提及。维格纳是 1963 年的诺贝尔物理学奖获得者，他的这篇文章标题很有挑战性：《数学在自然科学中不合理的有效性》。维格纳宣称这种有效性是“不合理的”，可说到理由，时至今日仍是学界争议不休的话题。维格纳认为，数学在自然科学中所起的巨大作用，“是某种几近神秘的东西，找不出合理的解释”。总之，数学是一个十足的奇迹，要展现这点，复数就是一个特别恰当的例子。
假如说“在我们的日常生活中，没有什么地方需要导入这些数学量”，数学家却能罗列出很多优美的定理，尤其是我们之前见过的诞生了那些数字的方程。简言之，那些生活在遥远的 16 世纪的天才数学家们所取得的卓越成就，维格纳“并不打算放弃”，可“对不信奉数学的人而言”，复数“既不自然也不简洁，且也无法从物理观察中找到暗示”。如果你们意外发现自己就是“不信奉数学的人”，不要生气。维格纳也不是信徒，可他还是使用了宗教用词，像写宗教文章一样，谈到了奇迹和奥秘、信众和不信者。无论你们是否认同数学是一个奇迹，复数的运用都不是“一种计算技巧”，反而“是表述量子力学形式系统的必须要件”，维格纳总结说。他还预言说，复数函数“注定会在量子论的表述中扮演决定性的角色”。一切确实如他所预言的那样发生了。
准备好，
你们要离开熟悉的三维世界，
抛开你们深信不疑的欧氏几何，
进入非欧几何的世界，
进入由数学家们为变革现代物理学
而创造的多维度空间。
—— 《尖叫的数学》第六章：非欧几何的世界
上文节选自博集天卷《尖叫的数学》, [遇见]已获发布授权。
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