2022年第一天！一道关于多元函数的微分和极值的数学考研真题的解答

2022年第一天，我们不能停止学习的步伐，继续来解答2022年研究生入学考试数学一、数学二和数学三的考研真题，本次的题目主要考察范围是多元函数的微分和极值，希望能对2023年考研学子有所帮助！请继续关注

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问题(2022年研究生入学考试数学二第20题)：

已知可微函数 满足

且有 .

(i) 设 , 求 的值 ;

(ii) 求 的表达式和极值.

解：(i) 令 和 , 则有

(ii) 根据 (i) 的结果可知 , 有

由于

故

因此有

令

故得到 或 , 即 和 为驻点 .

当 时 , 有 , 和 , 且满足 , 因此 为极小值 .

当 时 , 有 , 和 , 且满足 , 因此 不是极值 .