第 28 章复数

28.1 基础

若z = x + iy, 与其对应的共轭复数(complex conjugate) x-iy . z 的模(modulus) 为 √x^2+y^2, 写作 |z| .

复数与它的共轭复数的乘积是模的平方, 即:

复指数函数(Complex exponentials)

再《幂级数和泰勒级数》一章已经知道:

如果 x 为复数 z, 就会得到一个项为复数的级数 e^z , 其中z 是任意复数, 则且级数收敛.

在复平面内将每个点看作一个复数, 而不是一对实数. 可将平面中的点用极坐标代替.

那么在复平面内极坐标为 (r, θ) 的点, 所表示的复数的笛卡尔坐标 (x= cos(θ), y=r sin(θ)) :

下面来看看数学中最著名公式之一的欧拉恒等式:

观察下图不同的 θ 值对应的 e^(iθ), 请留意动画停顿之处(特别是在复平面中等于 -1 的地方)

对于不在单位圆上的点, 你只需乘以 r , 也就是如果 (x,y) 和 (r,θ) 为相同的点, 则 x+i y = r e^(iθ)

从上图中可以得知 e^(iθ) 关于 θ 是周期的, 且周期为 2π . 这意味着 e^(i3π/2)= e^(−iπ/2)

笛卡尔形式和极坐标形式互换

将极坐标形式的复数转成笛卡尔形式, 可以利用欧拉恒等式, 即 e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ) . 例如

由笛卡儿形式转换到极坐标形式要用到这个公式 r=√x2+y2 . 比如对于辅助 z= 1-i 中 x=1, y=-1. 由图形知道点 (1,-1) 再第四象限, 且两种 θ 均正确(加上 2π 的任意整数倍).

极坐标形式比较容易进行乘法和取幂运算, 比如

如何解 z^n=w 的方程, 其中 n 是整数, w 为复数. 这意味着要取 w 的 n 次方根. 使用极坐标形式的幂次来进行求解.

一般第, 方程有 n 个解, 当画出这些解时, 它们的顶点形成了一个正 n 多边形.

三角级数是系数为 anan 和 bnbn , 形如下面的级数:

来看看用幂级数来证明欧拉恒等式吧:

按照之前 28.1.1 节对 e^z 的定义, 将 z 替换为 iθ , 可以得到

由于i 的幂在值 1, i, -1, -i 间持续循环:

展开后整理实部系数和虚部系数, 可以推出欧拉等式 e^(iθ)=cos(θ)+i sin(θ)

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