一、 填空题
1. (2016·山东省济宁市·3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件: AH=CB等(只要符合要求即可) ,使△AEH≌△CEB.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】开放型题型,根据垂直
关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,就只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
【解答】解:∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
∴∠BEC=∠AEC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°﹣∠AHE,
又∵∠EAH=∠BAD,
∴∠BAD=90°﹣∠AHE,
在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,
∴∠EAH=∠DCH,
∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE,
所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA添加AE=CE.
可证△AEH≌△CEB.
故填空答案:AH=CB或EH=EB或AE=CE.
【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法,学会分类讨论的思想,属于中考压轴题.
2.(2016·四川攀枝花)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的解析
式;
(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(3)直线l经过A、C两点,点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动,直线m经过点B和点Q,是否存在直线m,使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y
轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m的解析式,若不存在,请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由B、C
两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;
(2)连接BC,则△ABC的面积是不变的,过P作PM∥y轴,交BC于点M,设出P点坐标,可表示出PM的长,可知当PM取最大值时△PBC的面积最大,利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积;
(3)设直线m与y轴交于点N,交直线l于点G,由于∠AGP=∠GNC+∠GCN
,所以当△AGB和△NGC
相似时,必有∠AGB=∠CGB=
90°,则可证得△AOC≌△NOB,可求得ON的长,可求出N点坐标,利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式.
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