波函数的物理意义是什么？

量子力学中的波函数是对系统量子态的数学描述。我们可以把波函数看成是一个复数形式的概率振幅。根据玻恩的量子力学描述，波函数的模方代表了一个粒子在空间某处出现的概率。

我们想要得到一个确定的波函数，首先要获得一组完备的自由度的集合，也就是题主所说的4个量子数。一旦这四个量子数确定了，描述粒子状态的波函数才能唯一确定。

但是对于一个给定的系统，选择哪些自由度构成完备自由度的集合并不是唯一的。对应地，波函数的域也不是唯一的。例如波函数可以在实空间中用位置坐标描述，也可以在动量空间中用动量去描述，二者可以通过傅里叶变换联系在一起。有些时候，对于一些无法描述清楚的实验现象，通过引进一些新的自由度，便可以很容易地解释。一个粒子，比如电子和光子，它们的自旋非零，在自由度的完备集合中就需要包含自旋这个离散变量。对于一个亚原子粒子还有可能包括一些其它离散变量比如同位旋。

图1. 经典和量子谐振子的对比

上图是经典和量子谐振子概念对单个无旋粒子的比较（图片来自Wikipedia）。 这两个过程差别很大。 经典过程（A-B）表示为粒子沿轨迹的运动。 量子过程（C-H）没有这样的轨迹。 相反，它表现为一个波; 这里纵轴表示波函数的实部（蓝色）和虚部（红色）。 （C-F）显示了薛定谔方程的四种不同的驻波解。 （G-H）还显示了两个不同的波函数，它们是薛定谔方程的解，但不是驻波。

图2. 氢原子中不同能量电子的波函数。每一点的亮度代表了在该点处观察到电子的概率：点的亮度越亮，观察到电子的概率越大。