大家好，我们上节课学习了关于三种分段函数求导法，回顾一下，分别是按定义求分界点处的导数或左右导数、按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数、分界点是连续点时，求导函数在分界点处的极限值这三种方法，有效的掌握这三种方法分段函数求导基本都可以解决了。
今天我们学习的是高阶导数，我们知道，变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即
v=ds/dt或v=s‘
而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数
a=dv/dt=d(ds/dt)/dt或a=(s')'
这种导数的导数d(ds/dt)/dt或(s')'叫做s对t的二阶导数，记作
d^2s/dt^2或s''(t)
所以直线运动的加速度就是位置函数s对时间t的二阶导数。
一般的，函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍是x的函数，我们把y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y''或d^2y/dx^2，即 y''=(y')'或d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx
相应的，把y=f(x)的导数f'(x)叫做y=f(x)的一阶导数
类似的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数,......一般的,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作
y''',y^(4),.....y^(n)或d^3y/dx^3,d^4y/dx^4,.....d^ny/dx^n
函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)为n阶可导，如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
由此可见，求高阶导数就是多次接连的求导数，所以仍可应用前面学过的求导方法来计算高阶导数。
对于给定的函数f(x)，我们可用逐阶求导法求出高阶导数，但对某些简单的函数y=f(x)常用如下的方法求其n阶导数的表达式
（一）归纳法
先依次求出y=f(x)的一、二、三阶导数等，若能观察出规律性，就可写出y^(n)的公式，然后用数学归纳法证明，用归纳法易导出下列简单的初等函数的n阶导数公式
列题1：设函数f(x)有任意阶导数且f'(x)=f^2(x)，则f^(n)(x)=？(n>2)
分析：对于这个题目来讲，我们可以先将f'(x)=f^2(x)两边求导得f''(x)=2f(x)f'(x)=2f^3(x),再求导得
f^(3)(x)=3!f^2(x)f'(x)=3!f^4(x).由此可归纳证明f^(n)(x)=n!f(n+1)(x)。
列题2：求指数函数y=e^x的n阶导数
分析：y'=e^x,y''=e^x,y'''=e^x,y^(4)=e^x,一般可得
y^(n)=e^x，所以(e^x)^(n)=e^x
列题3：求正弦函数与余弦函数的n阶导数
分析：y=sinx,y'=cosx=sin(x+π/2),
y''=cos(x+π/2)=sin(x+π/2+π/2)=sin(x+2*π/2)
y'''=cos(x+2*π/2)=sin(x+3*π/2)
y^(4)=cos(x+3*π/2)=sin(x+4*π/2)
一般的，可得y^(n)=sin(x+n*π/2)，用类似的方法可得(cosx)^(n)=cos(x+n*π/2)
列题4：求ln(1+x)的n阶导数
分析：y=ln(1+x),y'=1/(1+x),y''=-1/(1+x)^2,y'''=1*2/(1+x)^3,y^(4)=-1*2*3/(1+x)^4
一般的可得[ln(1+x)]^(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n
（二）分解法
通过恒等变形讲某些函数分解成上述简单初等函数之和，常有以下情形：
有理数与无理数的分解
求下列y^(n)
(1)y=x^n/(1+x) (2)y=(1+x)/√(1-x)
2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）
列题5：设y=sin^4x，求y^(n)
解;y=(1-cos2x/2)^2=1/4(1-2cos2x+cos^2(2x))=1/4-1/2cos2x+1/8(1+cos4x)
y^(n)=-1/2*2^ncos(2x+nπ/2)+1/8*4^ncos(4x+nπ/2)
=-2^(n-1)cos(2x+nπ/2)+1/2*4^(n-1)cos(4x+nπ/2)
（三）用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数
（四）由f(x)在x=xo处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求f^(n)(xo)（在后面的泰勒公式部分讲解）
高阶导数及n阶导数的求法这四种方法，可以这么说，囊括了高阶导数求导法的所有题型，请伙伴们能够认真的理解并掌握，不管是即将步入大学的你们还是已经在大一大二甚至考研的学子们，学习并掌握这些方法，会对你们的考试有极大的帮助，泰勒公式部分，会单独拿出来讲解，望各位读友们能够及时收藏分享下，防止遗忘以及查漏补缺。
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