大学高等数学: 第二章第二讲按定义求导数及其适用的情形

亲爱的小伙伴大家好，回顾下我们上节课学习的知识点，上节课我们学习了一元函数导数的基本概念，以及在什么情况下可导、不可导及导数不存在。连续以及可导的关系，可导必连续，连续不一定可导等。我们这节课学习如何用定义求导数以及其适用的范围。

一.按定义求导数：按定义求一元函数y=f（x）在某点x=xo处的导数，就是求0/0型极限，即求△x→0，limf（xo+△x）-f（xo）/△x   （注意，若△x→0时，f（xo+△x）-f（xo）不是无穷小量，则f‘（xo）不存在，即f（x）在点xo处不可导），其实说白了f‘（xo）=limf（xo+△x）-f（xo）/△x（△x→0）

二.按定义求导数适用的情形

情形1.除了常数函数外还有某些基本初等函数的导数公式，如（sinx）’=cosx，（lnx）‘=1/x等均按定义导出。（事实上其他基本初等函数的导数公式可由这两个导数公式及求导法则导出）

情形2.求导法则不能用的情形:如设f（x）=（x-a）φ（x），φ（x）在x=a处连续，试问f（x）在x=a处是否可导？这里乘积的求导法则不适用，因为不知道φ（x）在x=a处是否可导，因此我们就要按定义考察f（x）-f（a）/x-a的极限（x→a）

情形3.求某类分段函数在分界点处的导数

三.利用导数定义求极限

设f’（x）存在，若所求极限可化为如下类型：

△x→0，limf（x+△x）-f（x）/△x

则按导数定义即是f‘（X），由数列极限与函数极限的关系可得

n→∞，limf（X+Xn）-f（X）/Xn=f’（X），其中n→∞，limXn=0

下面我们来看下这个题目

在这个题目里面f（a）=b，这是为什么呢？因为导数也是我们高中学习的斜率k，k=y2-y1/x2-x1

所以A为斜率。则A=f‘（a），即x→a，limsinf（x）-sinb/x-a=limsinf（x）-sinf（a）/x-a=[sinf（x）]'=cosf（a）*f'(a)=Acosb

拿到这个题目，首先把n→∞，带入式子，发现是1∞次方型极限，这里面强调下，不仅仅这个题目，所有的极限题目，都要把值先带入式子看属于哪种类型，从而对应的解题方法；由1∞次方型转化为0/0型，n→∞，则1/n→0，根据导数的定义△x→0，f‘（xo）=limf(xo+△x)-f（xo）/△x，则1/n→0，limlnf(a+1/n)-lnf(a)/(1/n)=[lnf(a)]'=f'[a]/f[a]（复合函数求导法）。

注意：本节讲的是利用导数定义求导，在利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用复合函数的极限运算性质与已知重要极限的结论。