初中数学思维——数形结合的应用，考前必看（下）

例5：

思考：解含有绝对值符号的方程，一般要根据x的取值范围进行分类讨论，也可以根据绝对值的意义，观察图形直接得到方程的解.下面我们用后种方法.

|x＋1|的几何意义是数轴上表示实数x的点到－1的距离，同样|x－3|表示x到3的距离这个方程的意义是：求实数x，使它到－1与3距离的和等于5.

例6：

思考:这个不等式用代数的方法证明非常复杂,因此我们想到图形:不等式左边的四个根式使我们将其与直角三角形的勾股定理产生联想,是求直角三角形斜边长或求矩形对角线长的形式,且a+(1-a)=b+(1-b)=1,因此我们只要把一个单位正方形分成四个矩形就成.

证明:图7中正方形ABCD的边长为1,被分成的四个矩形边长如图所示,则

反思:例5和例6中,我们借助几何图形解决了代数问题.

例6的不等式证明已经超过了初中的要求,但尽管如此,用图形的语言解决问题的思路很容易理解,即使到高中以后我们会学习证明不等式的基本方法,但对一些变形比较困难的不等式,构思适当的几何图形,赋予不等式以几何意义,将会大大减少困难.

例7：

已知a＜b＜c，求证：方程(x－a)(x－c)＋(x－b)²＝0有两个不相等的实数根，且一根在a与b之间，另一个根在b与c之间.

思考：这虽然是方程的问题，但实际上可以从二次函数图像的角度去考虑.方程左边是一个二次函数的关系式，二次项系数2大于零，因此它的图像是一条开口向上的抛物线.

从求证的后一个结论分析，图像上与x＝b对应的点应在x轴下方，与x＝a和x＝c对应的点应位于x轴上方.

由于抛物线是连续的，因此在a与b之间和b与c之间，图像与x轴有交点，交点的横坐标就是我们研究的方程的根.

证明：设y＝(x－a)(x－c)＋(x－b)²

当x＝b时，a＜b＜c，得y＝(b－a)(b－c)＜0，即函数图像上的点(b，y_b)在x轴下方由于函数图像是开口朝上的抛物线，所以它与x轴必有两个交点，即方程(x－a)(x－c)＋(x－b)²＝0有两个不相等的实数根.

当x＝a和x＝c时，y_a＝（a－b）²＞0，y_c＝（c－b）²＞0，所以函数图像与x轴的两个交点，一个在a与b之间，另一个在b与c之间，即方程(x－a)(x－c)＋(x－b)²＝0的两根，一个在a与之间，另一个在b与c之间，如图8.

反思：关于二次方程根的分布问题，利用二次函数图像能非常直观地解决基本方法是：如果a＜b，只要证明当x＝a和x＝b时函数值异号，就能判断这个二次方程在a与b之间必有一根.

例8：

二次函数图象经过（3，6）和（5，6）两点，求此二次函数的对称轴。

思考：因为（3，6）和（5，6）在平行于x轴的直线x＝6上，二次函数的图象是以平行或重合于y轴的直线为对称轴的轴对称图形（如图9）。

所以用平行于x轴的直线去截抛物线所得两交点的横坐标一定关于对称轴对称。所以此题对称轴为直线x＝＝4，即直线x＝4.

反思：利用函数图象的直观性进行分析，化难为易，充分体现了数形结合的思想。

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