天才数学家陶哲轩证明出了 0=1？这是怎么回事

2015年，美国网站SuperScholar曾以智商为标准，评选出了当今世界上的十大天才。这个榜单第一名的，则是一位华裔数学家陶哲轩(Terrence Tao)，他的智商高达230，是普通人的两倍还多，可谓是天才中的天才。

陶哲轩1975年出生于澳大利亚，父母都是华人，自小就展现出超强的数学天赋。他在13岁的时候就获得了IMO(国际数学奥林匹克竞赛)的金牌，创下了最低年龄金牌获得者的记录，这一记录到现在都没有被打破。21岁的时候获得普林斯顿大学数学博士学位，24岁便在加州大学洛杉矶分校担任教授，而在31岁时便获得了号称数学界诺贝尔奖的菲尔兹奖。已经不是“别人家的孩子”了，而是别的星球的孩子。

陶哲轩是调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、代数数论等接近10个重要数学研究领域里的大师级数学家，并且本人态度谦和，热心助人，常常能在电光火石之间就迅速解答同事和学生向他求助的问题，因此在一档美国电视访谈节目中，被主持人称为“地球最强数学家”。

当然今天我们要谈的不是多么高深的数学理论，以及他多么杰出的贡献。陶哲轩曾写过一本非常出色的微积分教材，中文版名称翻译过来就叫《陶哲轩实分析》，在文章的引论部分，陶哲轩带领我们领略了一些因为忽视数学细节而导致的奇怪结论，我们今天就来介绍其中最有意思的一条：

求证：0 = 1

陶哲轩的证明是这样的，使用了函数极限的概念。我们知道，一个函数当x趋近于∞时的极限，就是这个函数在无穷远处的性态，跟函数的起始点无关，即，对于任何常数a，都有

我们来考虑sin x，于是

根据三角函数的诱导公式，有

于是

一个数和自己的相反数相等，只能

同样我们采用相同的手法来研究cos x，同样利用三角的函数的诱导公式cos(x+π)=-cos x，得到

把上面两个式子平方再相加

而我们知道，

因此上面式子的极限也等于1，于是我们得到：0 = 1

这个结论显然是荒谬的，但是哪里出错了呢？同学们可以自己来找找看。

事实上，陶哲轩这一以假乱真的手法，完全不逊色于刘谦的魔术，可惜数学界没有春晚。当人们的注意力全被吸引在寻找推理与论证过程中的问题时，其实第一步的预设就是错的。因为我们知道，sin x 这个函数当 x 趋近于无穷时的极限根本不存在，因此所有关于sin x 极限的表达式全都是错误的，那么后面的论证也就完全不能成立了。

陶哲轩就是想通过这个例子来告诉我们，数学是非常严谨的学科，它的每一个定义，每一步论证，每一个定理都要严格遵循数学的规范，任何一处细节的忽视都会导致灾难性的后果。这也是数学能够成为自然科学基础的原因，因为它无可辩驳的严密性，使得它成为我们在认识自然的过程中最可以仰赖的工具。