青少年的时候一直很喜欢看和战争相关的书籍和影视作品，再长大后也尝试的去了解下相关的军事理论书籍。自己大致的感受就是那些成功的军事家或者将领都是运气加持的天才，在指挥千军万马时智慧和艺术都发挥到了极致。像孙子兵法这样的经典军事著作也是赋予了文化和哲学的意义，和数学是似乎扯不到关系的。直到前段时间碰巧看到了一篇网文提到了兰彻斯特平方法则（Lanchester's Squared Law），了解到几个简洁的方程式竟然可以漂亮的解释双方战斗中数量和质量对结果的影响。以此为基础，近百年中学者们有进一步开发出了更加复杂的战争模型和计算机为基础的模拟战争系统。作为一名数学模型爱好者，我忍不住继续探索了一下这个兰彻斯特法则的来源和含义。
兰彻斯特全名叫Frederick W. Lanchester，是20世纪英国的一位多才的工程师。他在观察第一次世界大战后，对刚刚出现的空战产生了浓厚的兴趣。他在自己的著作中不仅大胆的预测空军会成为一个重要的新型军事力量，还用数学公式推演出空中战斗单位的数量和质量对战斗结果的影响[1]。这个数学公式也被称为兰彻斯特方程式，可以被看成现代各种战争或者战斗的数学模型的鼻祖。
兰彻斯特方程式最基本的微分形式如下[2]：
dB/dt=-rR
dR/dt=-bB
其中R代表红军的数目，B代表蓝军的数目，r代表红军的单位战斗效率，b代表蓝军的单位战斗效率。假设理想情况下，每一方的战斗单位力量可以直接连续攻击到对方的所有成员，而不受地形或者火力范围的限制，一方的损失速度就等于对方数目和单位战斗效率的乘积。通过一些推演，这个方程式得到的通用解为：
r[R(t)^2-R(0)^2]=b[B(t)^2-B(0)^2].
如果两军力量旗鼓相当，战斗结果是同归于尽，那么所需要的初始条件要满足
rR(0)^2=bB(0)^2
这个关系是就是所谓的兰彻斯特平方法则，揭示战斗力量和单位战斗效率有着线形关系而和单位数量有着平方关系。简言之，战斗结果对单位数量比对单位质量更敏感。举个例子，在蓝军数目比红军数目高20%的时候，如果双方单位战斗能力相当，蓝军会以减员~45%的代价全歼红军。红军如果想逆转取得胜利，其单位战斗能力要提高~50%才能弥补数量的不足（如下图所示）。
值得注意的是，这个平方关系法则的重要前提是：每一方的战斗单位力量可以直接攻击到对方的所有成员。如果在对方防御或者自己指挥火力能力限制下，攻击范围缩小，那么这个平方关系就趋向于线形关系，也就是数量上所取得的优势变小[2]。
虽然兰彻斯特模型很简单，但是它能漂亮的给出了质量和数量对战斗结果的定量关系。这个关系也和很多近现代的成功的军事实践一致，比如集中火力或者分割穿插形成局面数量优势、进行合适情况下的人海战术、通过防御和撤退降低对方的火力到达、以及战斗中保持对战场态势掌握。当然实际情况总是要复杂很多，比如受地形和通讯限制或者防御的影响，双方战斗单位并不能保证直接攻击到对方，还有一些新型精确制导武器实现的是定点攻击。所以这些年来有很多新的战斗模型出现[3]，不仅在理论和实践上考虑的更加完善，而且计算复杂程度也大大上升。
在商业应用中，特别是对于小型企业，兰彻斯特法则在确定市场进入方向上也很有指导意义，下次有时间的时候我们再仔细了解下吧。
文献参考：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Lanchester%27s_laws
[2] Lepingwell JWR (1987). “The Laws of Combat? Lanchester Reexamined”. International Security, 12(1):89-134
[3] https://www.rand.org/pubs/monograph_reports/MR638/app.html#fn11
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