下周安安就开学了。
在这个长达四个半月的超长假期内,我的一个重要任务,就是带着安安做一次数学总复习,准备小升初后可能面临的fb考。之前给大家分析过,fb考是不受课纲限制的,所以不可避免的,会涉及一些超纲的知识点,以及奥数题。
今天跟大家分享的,就是像鸡兔同笼一样,让牛娃感觉两眼放光普娃感觉无聊透顶的,青蛙跳井问题。
01
各位读者,准备好了么?动脑时间到!
一口深20米的井,有一只井底之蛙想跳出井去。青蛙每次跳的高度为5米,但由于井壁比较光滑,每跳5米下滑3米,请问:青蛙跳几次能跳出井?
安安读完题,一脸无辜的看着我,一副“我太难了”的表情。然后,我就知道,呃,这道题超纲了。
数学难题有很多种,对普娃来说,课纲内的难题,打冷眼看上去,其实还可以,至少读完题不会觉得天塌了,但是,课纲外的难题,通常读完题就生无可恋了。
这个时候,就得老父亲老母亲上场了。来,诸位也别围观了,说出你的想法吧!
(在一片迷茫的眼神中,总算听到一个声音)
“画图法”!
“非常好!这道题之所以还值得做一做,就是因为,即使不知道该怎么列算式,至少还可以通过画图法解出来”
“画一截垂直的线段,共20米,上5米,下3米,再上5米,下3米……哇,再上5米,青蛙就蹦出来了”
这种方式虽然看上去有点“笨”,但是,却很重要。就好像“鸡兔同笼”问题,枚举法也是非常重要的一种方法。因为这可以让孩子破除心中的畏惧感,让他们意识到,原来这种看上去很变态的题,有解且可解。
但是,这种笨方法通常是和简单的题干相对应的,比如,本题中,井的深度只有20米,适合枚举法的鸡兔同笼问题,鸡兔的总数也不宜超过10只。
按照“笨方法”做完之后,就要和孩子探讨了:如果这口井深是200米呢?还能不能用画图法?如果鸡兔总数是100只呢,还能不能用枚举法?
让孩子意识到一种方法的局限,才能让她们产生探究另一种方法的兴趣,才能让她们意识到,数学家们不是吃饱了撑的,才去研究数学的,而是为了给我们找到更加便捷有效的,解决问题的路径。
02
OK,辅导过程正式开始。
问:“这是一个什么问题?”
答:“呃,这是一个什么问题?”
你看看,你看看,公号博主家的孩子也都是这样式的,你还有什么可着急上火的?
上面这个问题,是数学解题的第一步,也是最难的一步,一旦孩子意识到,有很多看上去很变态的题,其实就是常态题的变形,心里就会轻松很多。所以,整个假期,我们都在重点训练这一点。读完题后,先不急于解题,而是先分析题目的类型。
说到这儿,有些“高手”可能会质疑,这是在教孩子套路,不符合数学思维。坦白说,我曾经对此也是有些排斥的,但是,后来慢慢发现,类似的套路,对于孩子,尤其是普娃,非常重要。你总要给她一个或者几个支点,她有了依靠,才有撬动数学星球的勇气,否则,对她而言,数学真的太难了。
在我的多次启发下,安安终于意识到,这是一道工程问题。
接下来,第二个问题,“这是哪类工程问题?”
大家别以为这个问题是随便提的,敢于提出这个问题,至少意味着对于工程问题,已经有了相当的积累。
事实上,青蛙跳井问题,是我在工程问题的最后阶段才给她拿出来的。之前,围绕这个知识点,已经足足学了三天,其中,光工总/工时/工效的基础概念和基本公式,就学了足足一天。然后,是合作问题(两人/多人),交替合作问题,负效率问题(进水管和排水管)。
在经历了又一轮大眼瞪小眼之后,安安终于意识到,这是一道有负效率的交替合作问题。
03
虽然明知道题目中还有坑,但是这时候,可以让她自己动手了。学数学不怕踩坑,踩的坑多了,才能学会避坑。
交替合作问题,要确认一个合作周期,并计算合作工效。上5米,下3米,每一个周期的工效是5-3=2。
工总是20,工效是2,工时=工总/工效=20/2=10次。这段话不是我写的,而且安安一边做一边念叨的,这也是之前要求过的,不管是念叨出来,还是心中默念,反正得有这个过程,老父亲此刻,就闭眼听着。
“做完了!”语气里透着自豪。
哎,作为一个女儿奴,每次说“做错了”,都需要鼓足勇气。所以,我的说术都是这样的:“前面做的很好哦,看起来这几天的辛苦,没白费,就差最后一哆嗦了!”
不过这道题的最后一哆嗦,其实挺难的。因为这是一道真正的“解决问题”题目,孩子必须有场景构建能力。既要在开始做题时,把具体的场景数学化,又要在做完题之后,把数学的结果场景化。
问题的关键就在于“最后一跳”。
我请她做倒序检查,也就是看最后一跳——这个交替合作的最后一个环节,还需要合作么?
答案显然是否定的,因为终究青蛙会直接跳出井去,不再下滑。所以,最后一跳,不应该纳入交替合作的范围。那么,在计算工总时,要把这一跳,减去。
这样,交替合作的工总,修正为:20-5=15
那么青蛙,需要跳几次呢?
安安写出来了,15/2=7余1,那么也就意味着,完成这个过程,需要8次。
这样加上最后一跳,5米,共9次,成功跳脱井口。
04
完整的一道题下来,赶紧吃了点海苔,缓和一下紧张的气氛。稍事休息之后,诡计多端的爸爸又开虐了。
来,我们再来看两道题:
0
1
有一个蓄水池,池中有一条进水管和一条排水管,灌满一池水需打开进水管2小时,排水一池水需打开排水管5小时。水池原先为空,如果按进水、排水、进水、排水......的顺序轮流各开一小时,那么多长时间能将水池注满?
这道题,因为场景基本一致,安安没费多大周折。
0
2
红星小学有76名学生要过河去爬山,只有一条最大承载8人的小船,需要2个人划船。已知每次过河需要4分钟,请问他们最少需要多少分钟才能全部过河?
这是一道小学奥数题,如果不是为了准备fb考,我是绝对不会给安安做的(因为这类题不太可能出现在正规数学考试中),但是,为了以防万一,而且刚好和青蛙跳井问题有相关性,还是拿出来给安安试了一下。
很遗憾,试哭了。
她自己说,感觉这道题不难,但就是不知道从哪里下手。然后一边哭一边自责:爸爸,我怎么这么笨啊,我都学了好几天了,你给我讲的都这么细了,我怎么还是学不懂啊!
这世间,最让胖爸爸手足无措的,就是女人的眼泪,曾经是她,现在是她。
没办法,只能上鸡汤了。
你再想想刚才说的青蛙跳井那道题。不是说解题过程,而是题目本身。
青蛙跳井,每往上跳5米,还会滑下来3米,但是,它坚持跳,第9天,也跳出了井口。
我们现在学数学,也是这样一个过程,包括未来的人生可能也是这样一个过程。前进一些,又后退一些,但是,只要方向是正确的,只要你一直朝着这个方向努力,青蛙能跳出井去,你也一定能跳进属于你的荣光里。
学好数学需要天赋,但是,天赋不太强,也有适合自己的路,那就是天道酬勤。坚持努力的人,永不放弃的人,虽然未必高人一等,却也一定能成就自己。
你看,这个假期到了现在,你每天都在练习,一天也没放弃,数学是不是比寒假前进步了一大块儿?信心是不是也逐渐增强了?
她点了点头,擦干眼泪,继续做题去了。
胖爸有话说
根据读者强烈要求,胖爸店铺上架了《绘本课堂》数学教辅书(学习书+练习册),请注意是人教版的,不是北师大版的,也不是苏教版的。之前有很多读者,要求我点评这套书,现统一作答。
第一,就像我在《这套风靡北上广的语文教辅书,用起来其实很有讲究》一文中说过的,《绘本课堂》语文版,是市面上最好的语文教辅书,没有之一,尤其是其中《年级阅读》和练习册,非常值得入。这也是我把它作为店铺唯一长销教辅书的原因。之前很多读者问上册,现在也上架了。但是,新学年开始前,可能有微调但是调整幅度不大,所以,着急预习的可以先入,比较介意的不妨等一等。
第二,《绘本课堂》数学版,和市面上大部分数学教辅书相比,还是有较强的比较优势的。但是,实话实说,确实没有达到语文版的高度,这也是我一直没有专门推荐的原因。如果手头的教辅书已经不少了,建议谨慎考虑。如果手头没什么参考书可用,没什么练习题可刷,这套书倒也不失为一个选择。
第三,今天原定有个练习册专场的团购,临时被我取消了,一方面,要等一等《新加坡数学》中文版和一本应用题练习册,另一方面,周六跟大家说了,会压缩团购频次,进一步优中选优。下一次的团购,可能要等到6月18日了。腾出来的时间,我会把心思聚焦到读小库联名卡和数学教具上来。
谢谢你们选择了我,我定会不辱使命,帮大家做选择。
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