“勾股定理”只能计算直角，“余弦定理”才是任意角放线定理

前几天发布的“任意勾股弦”大长边放线，友友们点了我很多的赞。没想到大家对数学原理与放线方法结合这么感兴趣。实际上“勾股定理”只是'余弦定理'的一个特殊图形，只是小弟。因为它只能计算90度的直角，不能 计算任意角的对边长度。“余弦定理”才是“勾股定理”的大哥大，它可以计算任意两边夹角的对边的长度。它才是放线计算的终极定理。

那么什么是“余弦定理”？

“余弦定理”是指任意三角形中，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍。

这句话的内容可以用图形和公式表示。见图1。

图1中，如果两直线的夹角等于90度，而90度的余弦值等于0，0乘以任何数都等于0。则“余弦定理”变式为“勾股定理”。

返回到图1。如果我们需要放样任意一个已知夹角和两边长度的工程时，只要把这两边的长度和所夹的角度代入图1中的“余弦定理”公式，即可计算其对边的长度，即可现场按“勾股定理”的大长边交会放样方法进行放线。

例如，一个边长为3的五角亭，每个内角均等于108度。见图3。

我们分别把它们的边长和夹角代入图1中的“余弦定理”公式，计算结果见图4。

图4中，如果施工现场以AB为基线，则在AB方向上用尺子在0点和3米点处钉小钉A. B。然后依次以A点为园心，以3米为半径在E点大概位置画圆弧E1;以4.854米为半径在D点附近画圆弧D1;以4.854米为半径在C点附近画圆弧C1。然后再依次以B点为园心，以4.854米为半径在E点附近画圆弧E2交E1于E点; 以4.854米为半径在D点附近画圆弧D2交D1于D点；以3米为半径在C点附近画圆弧C2交C1于C点。见图5。

图5中，在各弧的交点处钉小钉。连接AEDCBA即为五角亭的外轮廓线。

再分别在五边形各边延长线上便于保留的地方固定不少于4个点，以便施工时使用或恢复所放轮廓线。见图5。

由上述计算方法和放线过程我们可以发现“余弦定理”可以放样任意两条相交直线的施工直线，且现在的智能手机都有三角函数和开平方计算，计算“余弦定理”非常方便。这种放线方法希望大家喜欢。