t检验(t test)

统计学在科学研究中占有很重要的地位，机器学习中的很多内容也都是以统计学作为基础的，为了更好的理解一些看起来虚无缥缈的统计学概念，我也查阅了很多资料，但是大多数讲的并不那么通俗易懂，直到看到了“马同学高等数学”对概率统计的概念的描述，感觉非常通俗易懂。为了方便以后复习查看有关统计学的概念，将马同学的讲解的内容在这里弄成了一个统计学概念专题。

首先声明，此篇的内容是来自"马同学高等数学"微信公众号的内容。

目录

1、t检验的历史

2、t检验的思路

2.1 戈斯特的分析：

3、t分布

参考文献：   

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1、t检验的历史

阿瑟·健力士公司（Arthur Guinness Son Co.）是一家由阿瑟·健力士（Arthur Guinness）于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司：

   1951年11月10日，健力士酒厂的董事休·比佛爵士（Sir Hugh Beaver）在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时，因为没打中金鸻，于是和同行们争论哪种鸟飞得最快，彼此争论不休。由于当时的参考资料并不足以回答这个问题，这促使比弗想出版一本记载世界之最的书，这就是后来的《吉尼斯世界纪录大全》。

还有一个让健力士公司在历史留名的，就是他的员工威廉·希利·戈斯特（1876－1937）：

                                      

         

在健力士公司，戈斯特提出了t检验以降低啤酒质量监控的成本，但健力士酒厂为了保护公司的商业机密和智慧财产，明文禁止员工发表文章。戈斯特并没有因为这项规定而放弃他的学术研究发表，他在《生物统计期刊》以“学生”（The Student）为笔名，发表了关于t检验的文章，所以t检验又称为“学生t检验”。直到1937年，戈斯特因心脏病去世之前，健力士酒厂一直不知道戈斯特从事统计研究工作，并以“学生”笔名发表研究成果。许多统计研究者要和戈斯特见面，都必须像间谍电影般地秘密安排见面地点和时间。现在位于都柏林的健力士专卖店中有一个戈斯特的纪念碑，上面写著“化学家、统计学家威廉·希利·戈斯特，首席酿酒师，学生t检验”：

                            

2、t检验的思路

啤酒，主要原料是大麦，啤酒厂肯定是希望尽力提高亩产。比如，健力士公司有下面两块麦田：

                               

左边的麦田采用传统A工艺进行种植，平均每株大麦可以结100粒穗子。而右边的麦田采用改进过的B工艺种植，健力士公司想知道“B工艺是否提高了产量”。为了节约成本、减小损耗，抠门的健力士公司从B工艺的麦田中采样了5株大麦，样本均值为120粒穗子。然后把难题抛给了戈斯特。似乎直观看来产量提高了，毕竟均值增加了20%，可是戈斯特想得更多一些。

2.1 戈斯特的分析：

戈斯特提出一个假设检验：

• 假设：B工艺没有提高产量，即AB下的麦穗都是同一个分布

• 检验：看看在此假设下， 

  
   发生的概率高不高

已知的数据是，A工艺下的单株麦穗的个数服从

,标准差

未知的正态分布：

                                                                  

而B工艺下的麦田的样本均值

,样本数为5株，早在学习概率论知识时我们就知道，不同的标准差对应的正态分布的图像是不同的：

                                      

标准差越大，说明数据越分散，那么曲线的跨度就越大，曲线显得更加‘矮胖’；反之标准差越小，说明数据越集中，跨度越小，曲线显得更加‘高瘦’。

X如果服从正态分布

,这里

,跨度不大，采样5个点使其

图像如下：

                                           

由此可见，

的概率非常低，即AB下的麦穗是同一个分布的可能性不大，我们有很大把握可以认为B工艺真正提高了产量。

而如果X服从的是跨度更大的正态分布，采样五个点使其

的图像如下（为了演示，正态分布的参数选的不是很严谨）：

                                            

这样的正态分布下，

的概率并不低，即AB下的麦穗还是可能为同一个分布的，我们没十足的把握认为B工艺提高了产量。因此，看起来不能单纯依靠  

，或许除以样本标准差 s可以消除跨度的影响：

                                                                               

因为A工艺的 

 我们不清楚，但是我们假设AB同分布，所以直接使用了样本标准差 s。当然，样本数 n 也会影响结果。比如说，在 n =1000 下，得到

  ，那么根据大数定理，我们不用算了，基本上可以认为“B工艺提高了产量”。

所以，戈斯特认为应该综合考虑样本均值 

 、样本方差 s 和样本数 n ，给出了一个统计量t值：

                                                                          

该统计量越大说明AB工艺导致的差别越大，越有可能说明“B工艺提高了产量”。

3、t分布

对于t值：

，对应的概率密度函数，也就是t分布为：

                                                  

其中

，也叫做自由度。而 

 为伽马函数。

接近于正态分布

（灰色曲线表示正态分布

），下面是

的t分布

                                                    

而t值，实际上对应的就是横坐标的值，比如说t值等于4：

                                                    

t=4之后的曲线下面积其实就是P值:

                                                       

所以，我们知道t值之后，就可以根据

  以及要求的P值，查出当前的t值是否会拒绝我们的假设。

 举个例子，比如本文中的AB工艺下的数据为：

                                                       

   

计算出来：

                                                               

               

服从

 的t分布：      

                                                  

     

如果我们要求 5% 的显著水平的话(下两篇讲解P值和置信区间)，那么就可以拒绝“B工艺没有提高产量”这个假设了，也就是说，B工艺使得产量提高了。                   

参考文献：   

如何理解t检验、t分布、t值      https://mp.weixin.qq.com/s/SX-Pv8R_0s7adkNxdP_uvw