前些天我带妞妞去朋友家玩，他们家大宝在上小学，我们去的时候正好在做一道题:
3 ÷ 1/3 = ?
妞妞在旁边听到了，就说，等于9。
我朋友听了很惊讶，说，妞妞都会做分数的除法了。
我一愣，才意识到这是分数的除法，而分数除法的运算法则很复杂——“除以一个分数，就等于乘以它的倒数”。
听着好晕菜，孩子理解起来就更困难了。
但妞妞其实从来没有学过这个运算法则，她也不知道什么叫分数除法，她能知道这道题的答案，只因为一个原因:
理解了什么是分数，理解了什么是除法，再进行了逻辑推理。
之前答应大家写除法启蒙，今天就把这个坑填了吧。但我不会只停留在给大家讲“把4块乐高平均分给2个人”，这种浅显的方法，相信经常看我们数学启蒙文章的读者，早就能自己悟出来了。
说说除法里你会忽略的概念，和更触及本质的学习方法吧，说不定，会刷新你对除法的认知。
最重要的学习，是“概念性”的学习
除法的学习方法，我很推荐大家看《蒲公英数学图画书》里的这一本《猜猜看，玩除法》。
怎么玩呢？
假设你有12个核桃，想和两个朋友一起分享，希望3个人拿到一样多的核桃，每个人能拿到多少核桃呢？
可以先让孩子猜猜看。
一开始，他可能会猜每个人能分到5个核桃。
嗯，别急着纠正，让孩子分一分。
他会发现一人5个，第三个人只剩下2个核桃了。
别告诉他怎么办，让他再猜一次。
这次他可能会说，那每人分6个吧——忍住! 体现父母修为的时候到了!
别阻止，让孩子接着试。
他慢慢会发现，每人分5个，数量不够，那就要试试更小的数——比如每人3个。
还多出3个，正好每人又能再分一个。
把一些东西平均分给几个人，这是最最常见的除法启蒙方式。但是我想强调的是:
别小看、别省略这个“猜一猜”的过程，这是非常重要的建立起数感的过程。
数感数感，就是对数的感觉，没有操作数、感受数的多多少少的过程，哪来的感觉呢？
而且这个过程，孩子还在学习根据猜测的结果，进行验证和调整，这是非常重要的数学思维，也是逻辑思维的培养。
像有一次我们问了妞妞一个题目，100个月是几年，她马上猜是8年（当然有余数），问她为什么，她说:
肯定不到10年，因为10年是120个月。也应该不到9年，因为120个月减去12个月，还有108个月，多出8个月了。
这就是长期积累的对数的感觉。过程比结果重要，就是这个意思。
好，这是第一步，可以整除。
第二步，给孩子22块钱，分给4个人。
有了数感的孩子，可能很快会发现，每人分5块，剩下2块。
这个2块，就是“余数”了。
再接着往下，2块怎么分呢？
2块可以换成4个5毛的硬币，这样每个人就能分到5块5毛钱，也就是5.5元了。
这就涉及到换算，还有带小数的除法了。
这本书讲的是除法，但是除了封面，内容里面没有出现过“除法”两个字。
但其实，在玩的这个过程中，孩子理解了除法，也理解了余数，顺便把小数也理解了。
这和我陪妞妞玩的方法一样。
从妞妞会数数，对加减有概念之后，她就已经开始接触猜一猜、分一分、剩几个了，到现在，这个过程已经有两年多了吧，所以她才能完全内化对除法的理解。但我其实一直没告诉过她，这叫除法，一直到最近才偶尔提起。
最重要的学习，是“概念性”的学习。
千万别在孩子理解除法之前，去讲什么除数、被除数、除和除以的区别，看起来教的呕心沥血的，结果只是把孩子给绕晕了。
对概念的理解要走在名字和公式前面。
要判断教孩子的方法对不对，或者孩子学的好不好，其实很简单，就看孩子是真能理解一个概念，还是仅仅记住了一个名字，或者背下来一个公式。
那么，妞妞为什么会算分数除法呢？
这就涉及到大家可能会忽略的地方了——除法的概念，其实包含了两层意思。
第一层是“平均分”。
4÷2，是把4个苹果平均分给两个人。
但如果是“1 ÷ 1/3”呢？
把一个苹果平均分给1/3个人，说不通啊。
这就来到了除法的第二层意思: 包含除。
4÷2，也可以理解为，4里面包含了几个2。
这样，“1 ÷ 1/3”就说的通了。
1里面有几个1/3呢？
图一画就很清楚了，3个，对吧？
好，回到文章开头的题目，3 ÷ 1/3。
3里面有几个1/3?
1里面有3个1/3，3个1，里面当然就有“3×3”个了。
当孩子透彻理解了除法的两层含义，并不需要知道分数除法的运算法则，就能用逻辑推理出答案。
而且，将来她可以很轻松的理解:
3 ÷ 1/3 = 3 × 3
而不需要死记硬背“除以一个分数，就等于乘以它的倒数”了。
我觉得会硬着头皮去让孩子记一堆名词、法则的人，都是因为没有真正理解计算是什么。
计算到底是什么呢？
计算其实是在“概念”基础上进行的逻辑推理。
你看，理解了除法的意思，能推理出分数除法，是不是同样的，就能推理出带小数的除法，不就是“1里面有几个0.1”或者“0.5块饼平均分给两个人怎么分”吗。
而如果要记法则，小数除法的法则是这样的:
不光计算，整个数学都是核心概念+逻辑推理。
这就是为什么，在很多文章里，比如《没上小学前我真不知道这么难！2个问题，决定孩子一半数学命运》，我都一再强调了花时间吃透核心概念的重要性，这是一切的地基，别的都不急。
同样的，孩子成绩不好，不是要给他再刷题，必须倒回去检查，到底是哪个概念没吃透，重新花时间吃透它。
从上面可以看到，“包含除”对于理解分数除法和小数除法非常重要。
不仅如此，将来很多应用题也需要孩子理解这个概念。
比如，今天是星期一，100天以后星期几?
这是100里面有几个7。
小明到学校的路程是200米，他每秒钟走5米，走几秒能到学校?
这是200里面有几个5。
数学教育专家张奠宙在《小学数学教材中的大道理》这本书里也说，忽视对“包含除”的理解，后患无穷。
但现在的教材和很多练习册、APP、课程等等，对它的重视程度都不够。
所以咱们在给孩子做除法启蒙的时候，别忽略了“包含除”。
除了问，“4个苹果平均分给2个人，一人分几个”，还可以多问问:
4个苹果，每2个苹果，放在一个盘子里，需要几个盘子?
16根香蕉，给每个小朋友4根香蕉，可以分给几个人?
然后多加一句: 所以16里面有几个4呢？
对于年龄比较小的孩子，没有必要去解释平均分和包含除的区别，越解释越糊涂，孩子能体悟到就行。高年级的孩子，可以解释解释这两个概念的区别。
最后，再划一下重点:
数学的学习，最重要的是搞清楚“核心概念”的含义，并彻底内化它，这是举一反三的基础，也是学习“后劲”的来源。
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