有趣的数学——非欧几里得世界

19世纪是一个思想大解放时期， 包括政治、艺术和科学都有进步，还有非欧几里得（Non _ Euclidean)几何 也带来了数学的发展，标志着现代数 学的开始，这好比印象画是现代艺术

的开始。

这一时期，超双曲线几何（非欧几里得几何的对象之一）分别由俄国数学家尼克莱·洛玻柴夫斯基（Nicolai Lobachevsky, 1793—1856)和 匈牙利数学家约翰·伯利艾（JohannBolyai, 1802—1860)发现。

庞加莱（Poincart)设计的抽象图，双曲线模型

我们看到，双曲线几何体，和其他的非欧几里得几何体一起，描 述的是不同于欧几里得几何体的性质，因为之前我们习惯于用欧几里 得几何原理来思考问题。以双曲线几何体为例，“线”不一定是直线， “平行线”不相交，也不完全是等距离的，因为它们是渐进展开的。在 认真研究了非欧几里得几何后，你会发现，它们的确很精确地描绘了 世界上的事物。所以，这些几何体所存在的地方，就可以被称之为不 同的世界。

法国数学家亨利.庞加莱（Henri Poincard, 1854—1912)设计了一个模型，反映这一不同的世界。他将宇宙想象成一个圆（将球体看 做三维模型），圆心的温度是绝对值0。当你往外走，远离圆心，会发 现周围的温度在升高。假设宇宙中的物体和居住者不知道温度在变化， 而实际上万物的尺寸都在变 化，则越靠近中心，物体和生 物就越大，而接近边界时，其 尺寸就相对缩小。既然万物的 尺寸均在变化，你就有可能不 会知道和发现不了尺寸的变化。这就意味着，当朝着边界 移动时，你的脚步会变小，似 乎永远也走不到边界。这个现 象使世界看起来像是无穷大，两点之间最短的距离成了曲 线。因为从A点到B点，如果沿弧线向中心移动，你只需走更少的步 子（因为步子更大)就能达到。这里描述的世界中，三角形的边也是弧线， 如图所示。甚至，平行线看上去也变了样，线条DCE和线条平行， 因为它们不相交。

事实上，庞加莱描述的有可能就是我们所生活的世界。如果我们从 这个角度看世界，如果我们的旅行可以用光年来计算，那么也许我们会 发现自身尺寸的变化。实际上，在爱因斯坦的相对论里，直尺达到光 速时，它的长度会缩短。

庞加莱是一位富有创造力的思想者。他提出了事物多样化的课题， 一位在巴黎索邦神学院的教授（1881—1912年）如是说。他的著作和思 想涵盖了电学、势论、流体力学、热动力学、概率、天体力学、无穷系 列、渐进展开、积分变量、轨道稳定性和天体形状等，还可以列举出很多。 完全可以这样说，他的工作启发了 20世纪的数学思想。