欧拉妙解巴塞尔问题

        最近，小鱼儿刷到了这样一道导数压轴题：(2023年湖南永州三模，第一问比第二问难，事实上这题也是抄往年的模拟题，但做了改动)

       这道题的第（2）问背景是数论中非常著名的巴赛尔问题，而解决这个问题的人就是伟大的数学家欧拉（下图）。

     1650年，意大利数学家皮埃特罗蒙格利首次提出了巴塞尔问题，这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和：

        巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，并证明它是正确的。

        许多有影响力的数学家试图找到平方和的倒数之和的公式。微积分的两位共同发明人约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过，但都以失败告终。欧拉在他还年轻的时候(28岁)就解决了这个问题，他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明(后来他又提供了其他几个证明)绝不是严谨的，但它的美丽、简单和独创性是惊人的。

       欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始：

        两边同时除以x，得：

    考虑到sinx/x的零点为nπ（n=±1，±2，...），可以将sinx/x写成多项式的乘积形式，就像因式分解一样：

       可以看出，sinx/x展开式的x^2的系数为：

       又sinx/x的泰勒展开式中x^2的系数为-1/6，这两个系数一定是相等的，则：

        即：

       欧拉在1735年的证明还不是十分严密，但是已经可以看出他惊人的思维能力了！

       巴塞尔问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的，它是欧拉和伯努利家族的家乡。

        最后，再回到这个高三模拟题，显然这道题第二问考察的就是欧拉的思路：

       本期就到这里啦~咱们下期见！