有关切线、法线的几何性质
(1)设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q,F是抛物线的焦点,则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线,垂足为A,那么PQ平分∠APF。
(2)过抛物线上一点P作准线的垂线PA,则∠APF的平分线与抛物线切于P。〈为性质(1)第二部分的逆定理〉从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
(3)设抛物线上一点P的切线与法线分别交轴于A、B,则F为AB中点。
(4)设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A,交顶点O的切线于B,则FB垂直平分PA,且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影(即PM垂直于准线)。
(5)抛物线的三条切线所围成的三角形,其外接圆经过焦点。即:若AB、AC、BC都是抛物线的切线,则ABCF四点共圆。
(6)过抛物线外一点P作抛物线的两条切线,连接切点的弦与轴相交于A。又设P在轴上的射影为B,则O是AB中点。
(7)若抛物线与一个三角形的三条边(所在直线)都相切,则准线通过该三角形的垂心。
有关弦的几何性质
(8)焦点弦两端的切线互相垂直,并且垂足在准线上。
(9)过焦点弦的端点A、B作准线的垂线,垂足分别为M、N。设A、B处的切线相交于P,则P是MN中点,并且以AB为直径的圆切准线于P。
(10)若抛物线的两条焦点弦相等,连接这两条焦点弦的中点,则连线与轴垂直。
(11)抛物线的一条弦AB与轴相交于P(不一定是焦点F),过A、B分别作轴的垂线AM、BN,抛物线顶点为O,则OP²=AM*BN。
证明
以上性质均可以用坐标法来证明,在此以 为例给出性质(1)、(4)、(9)的证明。
(1)焦点,准线,设,则过P的切线方程为:
令,得,所以
于是,
易证二者数量积为0,因此有PF⊥QF。
要证PQ平分∠APF,可通过全等三角形的判定方法HL证明Rt△APQ≌Rt△FPQ,得到对应角∠APQ=∠FPQ即可。HL是显然的,因为根据抛物线的定义,有PF=PA,而斜边PQ是公共边,因此两个三角形全等。
根据这个性质,我们还能得出一个推论:AF被PQ垂直平分,并且四边形PAQF内接于圆,PQ为直径。
(4)根据已知条件,A在x轴上,B在y轴上。
PA方程为: ,令x和y等于0,解得
容易验证B就是AP中点
而,它们的数量积为0,因此BF⊥AP,即BF垂直平分AP。
要证PM与准线垂直,只要证M的纵坐标与P相同,都为y0即可。
容易写出直线BF: ,令,解得
故,命题得证。
(9)设
联立AB与抛物线方程,消去x得
由韦达定理,
又PA与PB都为切线,根据切线方程,
联立PA与PB的表达式可解得
而,根据中点坐标公式和韦达定理可知P是MN中点。
设AB中点为E,则E的纵坐标,与P的纵坐标相同,
因此PE∥x轴,PE⊥MN
而根据性质(8)可知PA⊥PB,即△PAB为直角三角形
所以E是△PAB的外心,所以PE是半径
根据切线的判定定理可知,MN是圆E的切线,切点为P。