重温三门问题及其解释

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经典问题：

现在有三扇门，有一扇门后面藏着最终大奖——汽车，剩下的两扇门后面各藏着一只山羊。观众首先选中了一扇门，然后主持人在剩余的两扇门中打开了一扇门，这扇门后面是羊（主持人知道哪扇门后面是羊），这个时候主持人问观众你是否换门？如果最终开的门后是汽车，那么恭喜你把车带回家。

我们从数学的角度解答这个问题，用概率的大小来回答换还是不换。

不妨假设选择的是甲门，穷举所有的可能：

- 车在甲门(1/3)，开乙门(1/2)，换，不中

- 车在甲门(1/3)，开丙门(1/2)，换，不中

- 车在乙门(1/3)，开丙门(1)，换，中

- 车在丙门(1/3)，开乙门(1)，换，中

所以不换成功的概率是1/3，换成功的概率是1/3。在主持人打开一扇门后(条件)，不换成功的概率是1/3，换后成功的概率是2/3。

下面看一个略微变化一下。

改编问题：

现在有三扇门，有一扇门后面藏着最终大奖——汽车，剩下的两扇门后面各藏着一只山羊。观众首先选中了一扇门，然后主持人出现，在滑倒的时候不小心(真的是不小心)打开了剩下两扇门中的其中一扇（打开这两扇门的可能性相同），门后是一只山羊。这个时候你可以选择坚持你最初的决定或者选择另一扇门。为了得到大奖，是坚持最初的决定好，还是改变自己的决定好呢？

不妨假设选择的是甲门，穷举法所有可能

- 车在甲门(1/3)，开乙门(1/2)，换，不中

- 车在甲门(1/3)，开丙门(1/2)，换，不中

- 车在乙门(1/3)，开丙门(1/2)，换，中

- 车在丙门(1/3)，开乙门(1/2)，换，中

一开始不换成功的概率是1/3，换成功的概率是1/3。

在主持人不小心打开一扇门后(条件)，不换成功概率是1/2，换后成功的概率是1/2。

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#一些相关的话题

#随机事件与必然事件

经典问题中主持人开门门后是山羊的行为是必然的，因为他知道山羊在哪个门后。而改编问题中主持人开门行为是随机事件，也就是开哪个门是不确定的，虽然最终发现门后是山羊，其中有个概率的问题。这个可能会有一点难理解，类似于做只有四个选项的单项选择题，最终我选了C，其实这是有概率的，甲可能觉得我是猜的，那么概率是1/4。乙觉得我是确定做出来的，就是1。丙则认为有两个很容易排除，所以我选C的概率是1/2。也许会疑惑为什么有不同的概率，这是因为基于不同的事实条件下做出的推断。

#互斥事件与对立事件

换成功和不换成功一直是互斥事件(一个发生，另外一个肯定不发生。但某一个不发生，另一个有可能发生也有可能不发生)。但有趣的是一开始，二者不是对立事件，在主持人打开一扇门后，二者就变成了对立事件(二者之一一定发生，而且剩下的一者肯定不发生)。

#先验概率与条件概率

概率之所以发生变化是因为引入条件，换一种通俗的说法是知道了更多的信息。一开始根据生活经验和常识可以知道，三个门选一个，中的概率就是1/3。而一旦在主持人的帮助下，排除了一个选项，从这个意义上讲，概率是不减的，而此时的这个概率是基于主持人打开了一扇山羊门的事实，是某种条件下发生的概率，是条件概率。打个比方，一起投掷两个正常的骰子，出现双六的概率，应该是1/36。现在不同时公布两个，先揭开一个的点数，发现是六，这时候人们心中对于双六结果判断的概率其实不知不觉中已经变为了1/6。

#选择的感性与理性

或许当初美国电视节目的主持人和嘉宾是想观众辩证的看待选择问题，面对现实的心理压力，是否会坚持自己最初的选择。从理性角度看，换是较佳的选择。但从感性角度，不换或许也不错，淡化功利心。坚持初心，相信自己，从一而终，随遇而安。

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