点点睛
1.函数的定义
（1）传统定义（初中）：一般的，在某个变化过程中有两个变量
和
，如果对于变量
在某一范围内的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
是自变量，
是
的函数。如果当
时，
，那么b叫做当自变量的值为
时的函数值。
（2）近代定义（高中）：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
，使对于集合A中的任意一个数
，在集合B中都有唯一确定的数
和它对应，那么就称
：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：
，
∈A；其中
叫做自变量，
的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与
的值相对应的
值叫做函数值，函数值的集合{
|
∈A }叫做函数的值域（range）．注意：“
”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“
”；函数符号“
”中的
表示与
对应的函数值，是一个数，而不是
乘
．
（3）函数是描述客观世界变化规律（变量之间的依赖关系）的重要数学模型。定义域、对应关系和值域是构成函数的三个要素。解析法、图象法和列表法是函数的三种表示方法。特别地，当情况比较简单时，对应法则
可用一个解析式来表示，但现实中，许多问题的对应法则
并非都能用一个解析式来表示。
2.：分段函数：在函数的定义域内，对于自变量
的不同取值范围，存在不同的对应法则。不能误认为分段函数是“几个函数”，一个分段函数只是一个函数。
3. 函数的性质：（1）单调性；（2）奇偶性；（3）周期性。具体某一函数，探讨其性质可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答。
4. 画函数图象的三个步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等。
5. 待定系数法求函数解析式：一般地，在求一个函数的解析式时，如果知道这个函数的类型（一般形式），可先把所求函数写为一般式，其中系数待定，然后再根据题设条件想方设法求出这些待定系数。
6.函数与方程的思想：函数与方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而相互关联的，它们之间既有区别又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
7.建立函数模型解决实际问题：学习数学的目的决非是为了解决数学问题，而是为了解决实际问题。实际问题的函数建模，即用数学的眼光观点看问题，用数学思想的方法、知识解决实际问题的过程，是函数思想的深刻体现。函数作为描述变量之间的依赖关系的数学模型，在刻画现实问题中具有广泛的应用。
8. 中考数学压轴题：中考数学压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。中考数学压轴题的共同特点是题目的情景都是动态的，不同的是在图形运动变化的过程中，探究的内容不同，这些内容分为三大类。第一类为函数图象中点的存在性问题，探究在函数的图象上是否存在符合条件的点。第二类为图形运动中的函数关系问题，这类压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况探求函数的定义域。第三类为图形运动中的计算说理问题，这类压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而进行证明。解决这类压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。
类题讲练（一）
一、选择题
1.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列图象中，不能表示
。
A B C D
3.
A.
B.
C.
D.24
4. 二次函数
的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
5. 函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
6.
A.4 B.3 C.2 D.1
7. 如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G， 当点C在AB上运动时，设AF=
，DE=
，下列中图象中，能表示
与
的函数关系式的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点
出发，沿箭头所示方向经过点
跑到点
，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为
（单位：秒），他与教练的距离为
（单位：米），表示
与
的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的
A．点
B．点
C．点
D．点
二、填空题
1.已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A→B→C→E运动，到达点E；若点P经过的路程为自变量
，⊿APE的面积为函数
，则其解析式为 _________________；当
时，
的值等于 ____________.
2.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是
；乙：与
轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与
轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式。
3.若将某一二次函数的图象先向上平移3个单位再向右平移4个单位后所得图象对应的函数解析式为
，则原二次函数的解析式为___________________.
4.对于函数
，按照高中版本的函数定义可记作
，当自变量由
变为
时，则有
，即
；据此，若
，那么
__________________；反之，若
，那么
=______________.
三、解答题
1.已知一次函数
的图象经过P（3, 2），它与 x 轴和 y 轴的正方向分别交于A、B两点，当OA+OB=12时，求一次函数的解析式。
2.在三角形ABC中，已知AB=6，BC=3，CA=4，任取AB上一点M，作MP∥AC，MQ∥BC,分别交BC、AC于P、Q，设ＡＭ的长为
,平行四边形MPCQ的周长为
,求出
关于
的函数关系式和自变量的取值范围.
3.
；并简要比较说明它们的性质。
4.
5.如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=
，直线EF交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N. 设HM=
，矩形AMHN的面积为
（1）求出
关于
的函数关系式；
（2）当
为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？
6.已知反比例函数
和一次函数
（1）若一次函数和反比例函数的图象交于点
，求
的值；
（2）当 k 满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点；
（3）当 k=-2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断此时A、B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角（直接写出结论）？
7.如图，已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D. OB=
，tan∠DOB=
(1)求反比例函数的解析式；
（2）设点A的横坐标为m，⊿ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当⊿OCD的面积等于
时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
8．如图，已知抛物线
的顶点是A，抛物线
的顶点时B
(1)判断点A是否在抛物线
上，为什么？
（2）如果抛物线
经过点B
①求
的值；②这条抛物线与x轴的两个交点之间的距离能否是它的顶点A到x 轴的距离的2倍？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由。
9.已知一次函数
，二次函数
（1）将下面的表格补充完整；
（2）观察表中的有关数据，证明如下结论：在实数范围内，对于
的同一个值，这两个函数对应的函数值
均成立；
（3）试问是否存在二次函数
，其图象经过点（-5,2），且在实数范围内，对于
的同一个值，这三个函数对应的函数值
均成立，若存在，求出函数
的解析式；若不存在，请说明理由。
10.已知二次函数
（1）求证：不论
取何值，抛物线的顶点Q总在
的下方；
（2）设该抛物线与
轴交于点 C，如果过点C且平行于
轴的直线与抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，⊿QCD能否是等边三角形：若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；
（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与
轴的交点为A，则使⊿ACD的面积为
的抛物线有几条？请证明你的结论。
中考数学专项练习·模块3·函数
类题讲练（二）
一、选择题
1.
（ ）
A. （1, 3） B. （1， 0） C. （-1, 3） D.（-1, 0）
2.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁。若足球运动的路线是抛物线
如图3-1，则下列结论：①
；②
；③
；④
其中正确的结论是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
图3-1 图3-2
3. 一次函数
与二次函数
的图象只有一个交点，则
的值为（ ）
A. 1 B.2 C. 3 D.4
4. 已知抛物线
轴的两个交点在 （1,0）两旁，则关于
的方程
的根的情况是 （ ）
A. 有两个正数根 B. 有两个负数根 C. 有一个正根和一个负根 D. 无实数根
5.
A. 0 B. -1 C. 2 D.
6. 如果二次函数
轴有两个不同的交点，它们的横坐标都是正数，那么 （ ）
A.
B.
C.
D.
7. 如果（2, 5）、（4， 5）是抛物线
上的两点，那么它的对称轴是
A.直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
二、填空题
1. 已知一元二次方程
有两个异号根，且负根的绝对值较大，则点M（
）
在第___象限。
2.
3.已知：
，
；则
的函数解析式为_____________________.【你能画出该函数的大致图象并写出两条其基本性质吗？】
4.
.
5. 关于
的二次函数
的图象与
轴从左到右交于A、B两点，若这两点关于原点对称，则k=_____________.
6. 已知二次函数
中，m 为不小于 0 的整数，它的图象与
轴交于A、B两点，点A在原点左边，点B在原点右边. 则该二次函数的解析式为________________.
7. 已知抛物线
与
轴的正半轴交于点A，与
轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，
S△ABC=3，则
= ，
= ．
三、解答题
1. 如图3-3，点P是以AB为直径的半圆上的一个动点，点O为圆心，PC⊥AB，点C为垂足，设
，图中阴影的面积为S，已知半圆的直径为4
（1） 说明S是
的一次函数，并求出表达式和自变量的取值范围；
（2）
为何值时，S的值最小？最小值是多少？
2. 已知反比例函数
和一次函数
，其中一次函数的图象经过（
），（
）两点。
（1） 求反比例函数的解析式；
（2） 如果点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3） 利用（2）的结果，请问：在
轴上是否存在点P，使⊿AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
3.已知抛物线
（1）求证：此抛物线与
轴有两个不同的交点；
（2）若
是整数，抛物线
与
轴交于整数点，求
的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A,抛物线与
轴的两个交点中右侧交点为B，若 M 为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标。
4. 已知抛物线
与
轴的交点为A，B（B在A的右边），与
轴的交点为C
（1）写出
时与抛物线有关的三个正确结论；
（2）当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在⊿BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（3）请你提出一个对任意的
值都能成立的正确命题。
5.已知一个二次函数的图象经过A(-1，0),B（0,3），C（4，-5）三点
（1）求这个函数的解析式及其顶点D的坐标；
（2）这个函数的图象与 x 轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为E，点O为坐标原点，在△AOB、△BOE、△ABE、△DBE这四个三角形中，是否有相似三角形？如果有，指出哪几对三角形相似，并加以证明；如果没有，请说明理由。
6.已知抛物线
（1）求证：抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
（2）当抛物线的顶点位置最高时，求抛物线与 x 轴的两个交点之间的距离；
（3）当方程
既有一个大于1的根，又有一个小于1的根时，求m的取值范围。
7.已知矩形ABCD的长为2，宽为1，分别以AB、AD为x 轴、y轴建立坐标系，将矩形折叠，使点A落在线段DC上
（1）当点A落在D点时，指出折痕的长；
（2）当折痕过点B时，求折痕所在的直线的解析式；
（3）当点A落在线段DC上
处，且
D=
时，求折痕所在直线的解析式（含
）；
（4）直接指出当
为何值时，折痕最短，最短长度是多少？
8.等边三角形纸片ABC和
的边长分别为
和2
（1）如图，将△
放在△ABC上，使得C′和C重合，且D′和E′分别在AC和BC上，固定△ABC ，将△
绕点C逆时针旋转30°得到
，连接AD，BE，
的延长线交AB于F，试判断线段BE与AD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，若将
继续移动，使其在线段CF上沿着CF的方向以每秒一个单位的速度平移，设
移动时间为
秒，
与△ABC重叠部分的面积为
，求
与
之间的函数关系式，并求出自变量
的取值范围。
9.将一条抛物线
以其顶点为中心旋转 180°后，与 x 轴正半轴交于点A，与y 轴交于点B；在第二象限内存在一点C（
，1），顺次连接A，B，C，O得到一个四边形，过点B作直线 m 将此图形分成面积相等的两部分
（1）求旋转后的抛物线解析式；
（2）求直线 m 的解析式（用
表示）
10.已知二次函数
的图象经过点A（-3,6），并与 x 轴交于点B（-1,0）和点C，顶点为P
（1）求出这个二次函数的解析式，并在坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及 y 轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
11.如图，已知：⊙D交 y 轴于点A、B，交 x 轴于点C，过点C的直线
与y 轴交于点P
（1）求证：PC是⊙D 的切线；
（2）判断在直线PC上是否存在点E，使得
，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当直线PC绕点P转动时，与劣弧
交于点F（不与A、C重合），连接OF，设PF=m，OF=n，求 m、n 之间满足的函数关系式，并写出自变量 n 的取值范围。
12.已知：在平面直角坐标系 XOY 中，一次函数
的图象与 x 轴交于点A，抛物线
经过O、A两点
（1）试用含
的代数式表示
；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分；若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式.
函数强化提高练习
（难度较大 目标110分以下者勿做）
1.求证：一次函数
的图像对一切有意义的
恒过一定点，并求出这个定点.
2.已知一次函数
的
随
的值增大而增大，它的图象与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过
，反比例函数
的图象在二、四象限. 求满足上述条件的
的整数值.
3.【-232-】已知函数
，当自变量
的取值范围为
时，
既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数
的取值范围.
4.已知函数
（1）求证：无论
取何实数时，这些函数图象恒过某一定点；
（2）当
在范围
内变化时，
在
内变化，求实数
的值.
5.【-234-】设抛物线
（1）把抛物线向右平移
个单位，或向下平移
个单位，都能使得抛物线与直线
恰好有一个交点，求
、
的值；
（2）把抛物线向左平移
个单位，向上平移
个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）与（4,9），求
、
的值；
（3） 把抛物线
向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图象是经过点（—1，—
）的抛物线
，求原二次函数的解析式.
6. 【-236-】已知抛物线
的一段图象如图所示．
（1）确定
的符号；
（2）求
的取值范围．
7.不论
取任何实数，抛物线
的顶点都在一条直线上，求直线解析式.
8.【-241-】已知点A、B的坐标分别为A(1,0)，B(2,0)，若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，求
的取值范围
9.【-241-】已知关于正整数n的二次式
（
为实常数）,若当且仅当
=5时
有最小值,求实数
的取值范围.
10.【-243-】已知二次函数
（
≠0,1）
求证：对于任意
≠0,1 的实数，这些二次函数的图象恒过定点 A、B，并求出 A、B 的坐标.
11.【-244-】已知二次函数
（1） 随着
的变化，该二次函数的顶点
是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（2） 如果直线
经过该二次函数图象的顶点
，求此时
的值.
12. 已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线
上的一个动点
(1) 判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=—1的关系；
(2) 设直线PM与抛物线
的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM
13.【-254-】已知抛物线C1：
和抛物线C2：
相交于A，B两点，点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
14.【-264-】规定
表示
中的较大者，例如
求函数
的最小值，并求出当函数取最小值时自变量
的值.
中考数学拓展知识点
1.
2.
3. 平面内线段MN的起点为M(x1，y1)，终点为N(x2，y2)，P(x，y)为线段MN上一点，若MP：NP=λ, 则
4. （1）等差数列
；
（2）等比数列
；
（3）斐波那契数列 0、1、1、2、3、5、8、13、21、……
5. 三角形面积公式 （1）
（2）
6. 正弦定理
.（R为三角形外接圆的半径）
7. 余弦定理
;
;
.
8.圆：弦切角定理；切割线定理；割线定理；相交弦定理；
平面内，以M(a，b)为圆心、r为半径的圆的方程：
9.射影定理：CD为Rt△ABC斜边AB上的高，则
10.黄金分割的几何作法
已知线段AB，按照如下方法作图：
函数强化提高练习
（难度较大 目标95分以上者选做）
1.求证：一次函数
的图像对一切有意义的
恒过一定点，并求出这个定点.
2.已知一次函数
的
随
的值增大而增大，它的图象与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过
，反比例函数
的图象在二、四象限. 求满足上述条件的
的整数值.
3.【-232-】已知函数
，当自变量
的取值范围为
时，
既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数
的取值范围.
4.已知函数
（1）求证：无论
取何实数时，这些函数图象恒过某一定点；
（2）当
在范围
内变化时，
在
内变化，求实数
的值.
5.【-234-】设抛物线
（1）把抛物线向右平移
个单位，或向下平移
个单位，都能使得抛物线与直线
恰好有一个交点，求
、
的值；
（2）把抛物线向左平移
个单位，向上平移
个单位，则得到的抛物线经过点（1，3）与（4,9），求
、
的值；
（3） 把抛物线
向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得图象是经过点（—1，—
）的抛物线
，求原二次函数的解析式.
6. 【-236-】已知抛物线
的一段图象如图所示．
（1）确定
的符号；
（2）求
的取值范围．
7.不论
取任何实数，抛物线
的顶点都在一条直线上，求直线解析式.
8.【-241-】已知点A、B的坐标分别为A(1,0)，B(2,0)，若二次函数
的图像与线段AB只有一个交点，求
的取值范围
9.【-241-】已知关于正整数n的二次式
（
为实常数）,若当且仅当
=5时
有最小值,求实数
的取值范围.
10.【-243-】已知二次函数
（
≠0,1）
求证：对于任意
≠0,1 的实数，这些二次函数的图象恒过定点 A、B，并求出 A、B 的坐标.
11.【-244-】已知二次函数
（3） 随着
的变化，该二次函数的顶点
是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（4） 如果直线
经过该二次函数图象的顶点
，求此时
的值.
12. 已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线
上的一个动点
(1) 判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=—1的关系；
(2) 设直线PM与抛物线
的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM
13.【-254-】已知抛物线C1：
和抛物线C2：
相交于A，B两点，点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
14.【-264-】规定
表示
中的较大者，例如
求函数
的最小值，并求出当函数取最小值时自变量
的值.
中考数学专项练习·模块3·函数
中考链接
1. 小明在暗室做小孔成像实验.如图1，固定光源（线段MN）发出的光经过小孔（动点K）成像（线段M'N'）于足够长的固定挡板（直线l）上，其中MN// l.已知点K匀速运动，其运动路径由AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．记它的运动时间为x，M'N'的长度为y，若y关于x的函数图象大致如图2所示，则点K的运动路径可能为
A．A→B→C→D→A B．B→C→D→A→B
C．B→C→A→D→B D． D→A→B→C→D
图1 图2
2. 如图，在等边三角形
中，
．动点
从点
出发，沿三角形边界按顺指针方向匀速运动一周，点
在线段
上，且满足
．设点
运动的时间为
，
的长为
，则
与
的函数图像大致是
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y =ax2+bx +c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是（ ）．
A．a＜0 B．－3＜a＜0
C．a＜
D．
＜a＜
4.在平面直角坐标系xOy中，直线
与双曲线
（
）的一个交点为
.
（1）求k的值；
（2）将直线
向上平移b(b>0)个单位长度后，与x轴，y轴分别交于点A，点B，
与双曲线
（
）的一个交点记为Q.若
，求b的值.
5.在平面直角坐标系
中，直线
与
轴交于点
，且与双曲线
的一个交点为
．
（1）求点
的坐标和双曲线
的表达式；
（2）若
轴，且点
到直线
的距离为2，求点
的纵坐标．
6.如图，直线
与双曲线
只有一个公共点A(1，
)．
（1）求k与a的
值；
（2）若直线
与双曲线
有两个公共点，请直接写出b的取值范围．
7.已知二次函数y =x2 + 4x + 3．
（1）用配方法将二次函数的表达式化为y = a(x-h)2 + k 的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；
（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．
8.有这样一个问题：探究函数
的图象与性质．
小东对函数
的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数
的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
0
0
0
6
24
60
…
①m=；
②若M（
，
），N（
，720）为该函数图象上的
两点，则
；
（3）在平面直角坐标系
中， A（
），B（
）
为该函数图象上的两点，且A为
范围内的最低点，
A点的位置如图所示．
①标出点B的位置；
②画出函数
（
）的图象．
9.
10.阅读下列材料：
有这样一个问题：关于x 的一元二次方程a x2 + bx+ c = 0（a>0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．
小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：
①设一元二次方程ax2 +bx+c= 0（a>0）对应的二次函数为y = ax2 +bx+c（a>0）；
②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：
方程根的几何意义：请将（2）补充完整
方程两根的情况
对应的二次函数的大致图象
a，b，c满足的条件
方程有两个
不相等的负实根
方程有两个
不相等的正实根
（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；
（2）若一元二次方程
有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1，求实数
的取值范围．
11.．有这样一个问题：探究函数
的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
① 当函数为
时，
随
增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数为
时，它的图象与直线
的交点坐标为 ；
（2）当函数为
时，
下表为其y与x的几组对应值．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
3
7
…
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．
12.在平面直角坐标系
中，抛物线
（
）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B
在点C左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）若BC=4，
①求抛物线的解析式；
②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含
C，D两点）．若过点A的直线
与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k
的取值范围．
13.在平面直角坐标系
中，抛物线
经过点
，且与
轴的一个交点为
．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）
是抛物线
与
轴的另一个交点，点
的坐标为
，其中
，
的面积为
．
①求
的值；
②将抛物线
向上平移
个单位，得到抛物线
，若当
时，抛物线
与
轴只有一个公共点，结合函数的图象，求
的取值范围．
14. 在平面直角坐标系
中，抛物线
与360docimg_501_轴的交点为360docimg_502_.
（1）求抛物线的顶点坐标;
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①当360docimg_503_时，求线段360docimg_504_上整点的个数；
②若抛物线在点360docimg_505_之间的部分与线段360docimg_506_所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求360docimg_507_的取值范围.
15.在平面直角坐标系中，抛物线y = - x2+ mx +n与x轴交于点A，B（A在B 的左侧）
（1）抛物线的对称轴为直线x = -3， AB = 4.求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）当m =4时，抛物线上有两点M（x1，,y1）和N（x2，,y2），若x1< 2，x2>2，x1+ x2> 4，试判断y1与y2的大小，并说明理由.
16.在平面直角坐标系360docimg_508_中，抛物线360docimg_509_的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段360docimg_510_沿360docimg_511_轴向右平移2个单位得到线段360docimg_512_．
①直接写出点360docimg_513_和360docimg_514_的坐标；
②若抛物线360docimg_515_与四边形360docimg_516_有且只有两个公共点，结合函数的图象，求360docimg_517_的取值范围．
17.在平面直角坐标系xOy中，抛物线360docimg_518_的最高点的纵坐标是2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1 + x2的值．
18.在平面直角坐标系360docimg_519_中，抛物线360docimg_520_：360docimg_521_与360docimg_522_轴交于点360docimg_523_，抛物线360docimg_524_的顶点为360docimg_525_，直线360docimg_526_：360docimg_527_．
（1）当360docimg_528_时，画出直线360docimg_529_和抛物线360docimg_530_，并直接写出直线360docimg_531_被抛物线360docimg_532_截得的线段长．
（2）随着360docimg_533_取值的变化，判断点360docimg_534_，360docimg_535_是否都在直线360docimg_536_上并说明理由．
（3）若直线360docimg_537_被抛物线360docimg_538_截得的线段长不小于360docimg_539_，结合函数的图象，直接写出360docimg_540_的取值范围．
19.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线360docimg_541_的顶点在 x轴上，360docimg_542_，360docimg_543_（360docimg_544_）是此抛物线上的两点．
（1）若360docimg_545_，
①当360docimg_546_时，求360docimg_547_，360docimg_548_的值；
②将抛物线沿360docimg_549_轴平移，使得它与360docimg_550_轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；
（2）若存在实数360docimg_551_，使得360docimg_552_，且360docimg_553_成立，则360docimg_554_的取值范围是 ．
20.在平面直角坐标系xOy中，直线y=4X+4与x轴y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A将点B向右平移5个单位长度，得到点C.
(1)求点C的坐标;
(2)求抛物线的对称轴;
(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围
