《社工统计学杂记》4
墨西哥海湾雄蟹所追逐的雌蟹之美：
泊松回归与负二元回归
美丽的墨西哥海湾，东起美国佛罗里达半岛和古巴岛，西至墨西哥，气候温润潮湿。每年春夏，是马蹄蟹繁殖季节，成群栖息于墨西哥湾的雌蟹和雄蟹匍匐于松软的海滩上，产卵受精，繁育后代。马蹄蟹，又称鲎（读“后”），像虾又像蟹，有两个甲壳，是一类与三叶虫 (现在只有化石)一样古老的动物。雌雄一旦结为夫妻，便形影不离，肥大的雌蟹常驮着瘦小的丈夫蹒跚而行。此时捉到一只蟹，提起来便是一对，故马蹄蟹享有“海底鸳鸯”之美称。
蟹通常驮着雄蟹在沙滩上掘洞产卵，在这对夫妻边上还聚集着一些雄蟹，称为“卫星蟹”。有些雌蟹美貌惊艳，堪称蟹界的“绝代美人”，常招来很多卫星蟹聚于周边，而有些雌蟹则“貌寝”（明朝魏禧《大铁椎传》语，意为丑陋），形单影只，除了这对夫妻外再无其它雄蟹光顾。
公元20世纪某年，有好事者搜集了173只雌蟹的数据，发现其中有四只最为惊艳，周边分别聚集了11、12、14、15只雄蟹；大部分的雌蟹没有或仅有寥寥无几的雄蟹（62只没有任何雄蟹；16只仅有一只雄蟹）。这些卫星蟹个数的分步，如下面的直方图所示：
那么，为什么有的雌蟹如此受宠，而有的则如此孤寂呢？
雄蟹眼中的雌蟹之美是什么？
为了回答这个问题，那位好事者又采集了每一雌蟹的四个数据：
（1）颜色（1=浅棕色，2=中棕色，3=暗棕色，4=暗色）；
（2）甲壳的磨损状况（1=双甲壳无任何磨损，2=有一个甲壳磨损或破裂，3=双甲壳均磨损或破裂）；
（3）甲壳的宽度（用厘米计量，平均数为26.299厘米，最窄的雌蟹为21厘米，最宽的雌蟹为33.5厘米）；
（4）体重（用克计量，平均数为2，437克，最小的为1，200克，最大的为5，200克）。
要探究雄蟹眼中的雌蟹之美，我们可以仿照当年Galton研究子女身高与父母身高之关系的方法，做一个多元回归分析：把卫星蟹的个数当作因变量，把以上四个变量当作自变量。
但是，在这里，我们遇到了回归模型的假设遭到违背的问题。任何多元回归，都假设因变量服从正态分布，即卫星蟹的分布应似钟形曲线（两边对称）而不出现偏态，这显然于上面所看到的直方图不符。为了应对这一回归假设的违背，我们的方法从简单变到了复杂，这个方法就是研究“偏态因变量”的泊松回归（Poisson regression）或负二元回归(negative binomial regression)。这两个回归模型都属重要的广义线性模型，它们的区别在于：泊松回归要求因变量的均值等于它的方差，而负二元回归则允许因变量的方差大于均值。
具体到马蹄蟹的美学研究，我们用负二元回归更为精确，因为在这个数据中，卫星蟹的方差为9.91，均值为2.92。
用负二元回归做分析后，我们发现前两个自变量对卫星蟹个数都没有解释意义（即不存在统计意义上的显著性），而真正让雄蟹趋之若鹜的是雌蟹的宽度和重量：在其它因素控制以后，雌蟹的宽度每增长一厘米将导致围绕周边的雄蟹个数增长18% (p<>统计意义上非常显著）；同理，在其它因素控制以后，雌蟹的重量每增长10克将导致围绕周边的雄蟹个数增长1% (p<>统计意义上非常显著）。
追求美，特别是追求异性之美，是人类和大自然的普遍规律。Chasing Beauty Is Universal! 但是，对美的定义，却因人而异，也因大自然万物的种类而异。以上的例子说明，雄蟹并不在乎雌蟹的色泽和甲壳的光泽，它们眼中的美是体态姣圆、丰润、和肥硕。这个例子还说明，泊松回归或负二元回归并不复杂，它只是多元回归的衍生。当研究的因变量出现偏态，我们就需要用到这类特殊的回归模型。这类模型在所有统计软件包中都能找到。关于本例的原始数据和部分分析，见Alan Agresti (2013) Categorical Data Analysis, Wiley 公司出版。
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