2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）

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2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题上作答无效。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数 ＝1+ ， 为 的共轭复数，则 - -1＝

（A）-2    （B）-     （C）     （D）2

（2）函数 ＝ （ ≥0）的反函数为

（A） ＝ （ ∈R）    （B） ＝ （ ≥0）

（C） ＝ （ ∈R）    （D） ＝ （ ≥0）

（3）下面四个条件中，使 > 成立的充分而不必要的条件是

（A） > +1    （B） > -1    （C） >     （D） >

（4）设 为等差数列 的前n项和，若 ，公差d = 2, ,则k =

      (A ) 8              (B) 7             (C) 6             (D) 5

(5) 设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于

     （A）            （B）3          （C）6           （D）9

（6）已知直二面角α –ι- β, 点A∈α ，AC ⊥ ι ,C为垂足，B∈β，BD⊥ ι，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（   ）

（A）      （B）       (C)         (D) 1

(7)  某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（   ）

    （A）4种    (B) 10种    (C) 18种        (D)20种

（8）曲线 在点（0,2）处的切线与直线 和 围成的三角形的面积为

（A）             （B）              （C）             （D）1

（9）设 是周期为2的奇函数，当 时， ，则

（A）            （B）            （C）             （D）

（10）已知抛物线C: =4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A,B两点，则 cos<AFB=(   )

     (A)            (B)         (C).—          (D) —

（11）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与 成60? 二面角的平面β截该球面得N。若该球面的半径为4，圆M的面积为4л，则圆N的面积为（   ）

     (A) .7л           (B). 9л       (C). 11л          (D). 13л

（12）设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于（   ）

    （A）2             （B）              (C)                 (D)1   

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己凡人名字、准考证号填写清楚，然后贴好条形码，请认真核条形码上凡人准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）

(13)(1- )²⁰的二项展开式中，x 的系数与x⁹的系数之差为____________________.

(14)已知  ，sin = ,则tan2  =______________

(15)已知F₁、F₂分别为双曲线C: 的左、右焦点，点  ，点M的坐标为（2,0），AM为∠F₁AF₂的平分线，则 ______________

（16）已知E、F分别在正方形ABCD、A₁B₁C₁D₁楞BB₁，CC₁上，且B₁F=2EB，CF=2FC₁，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_______________。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°，a+c= ，求C.

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种概率；

（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.

 

 

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，棱锥 中， ∥ ， ⊥ ，侧面 为等边三角形， = =2， = =1。

   （I）证明： ⊥平面 ；

（II）求 与平面 所成的角的大小。

 

 

 

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

设数列 满足 且 。

（I）求 的通项公式；

（II）设 ，记 ，证明： 。

（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上答无效）

  已知O为坐标原点，F为椭圆C： 在 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为- 的直线 与C交于A、B两点，点P满足 .

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上答无效）

（Ⅰ）设函数 ，证明：当 ＞0时， ＞0；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互补相同的概率为 .证明： ＜（ ）¹⁹＜ .