摘 要:我们不仅满足于“让学生感到惊奇”,更要让学生归纳总结,“知其所以然”。培养学生学习科学的探究态度,善于发现,敢于质疑的数学精神,巩固生活中的数学模型,培养学生的应用意识。
关键词:试题 数学模型 数学建模
启发学生解决数学应用题的前提条件是审清题意,并且认识到提取题目中的数量关系,也就是做好文字语言与数学语言的转换工作。在提取数量关系时,应排除专业术语等非数学因素的干扰,在分析、解决转化以后的纯数学问题时,要求学生较为熟悉地掌握数学的有关知识点与基本方法,最后,在纯数学问题解决之后,应注意把数学问题的解向实际问题还原。
学生遇到数学应用题就害怕,原因有两点:第一是阅读量非常大,题目意思难读懂;第二是应用题背景不熟悉。应用题在高考中无疑是一道门槛,将一部分学生挡在了门外。
一、试题回望
例1:古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是。若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是___。
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
学生看到这一题吓得要死,一些美术生反倒做出来啦,另外一部分学生利用排除法做出来啦。答案选B。
例2:古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是___。
A. B. C. D.
考查学生对以古代典籍为背景的统计结果的判断。题目使学生体会到数学的应用模型价值,会用数学知识解决实际问题,又考查学生的理解能力、数据处理能力。符号与图形的结合,体现此题的函数应用性。答案选A。
例3:为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验。试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X。
1.求的分布列;
2.若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,
(i)证明:为等比数列;
(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性。
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题。本题综合性较强,要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识,对学生分析和解决问题能力要求较高。
解:(1)X的所有可能取值为。
表示最终认为甲药更有效的概率,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理。
高考中,笔者带的班中这一题得分率低得很,许多学生没有得分,根本没有看直接选择放弃。主要是对应用题的恐惧而选择逃避;有的根本不看也看不懂,不理解,导致丢分。
二、数学模型的培养
1.基于教材,培养学生建模
高中利用数学知识解决的实际问题也越来越多。以教材为主要载体,让学生运用学到的数学知识解决一些实际问题,是培养学生应用意识的一个很好的切入点[1];让学生能够主动尝试从数学角度看问题,运用所学的数学知识和方法寻求解决问题的方案。能使学生進一步加深对函数概念、指数函数概念及其性质、对数函数概念及其性质的认识,并体会到数学知识在生产生活实际各个方面的应用,增强学生学习数学的兴趣,提高数学应用能力。为了使学生更好地建立数学模型,通过具体到一般,发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法。必要情况下,对学生生疏的背景,如物理方面的知识,应适当予以复习或补充,数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。教师在教学中要善于充实教材、处理教材,调整教材CV4gv3xUjT32Ee93guc7Ow==,利用教材培养学生运用数学的意识。
2.贴近生活,提炼数学问题
由于数学模型具有很强的操作性和较准确的预见性,所以在实际生活中有广泛的应用,存贮运输模型,让农产品花最少的费用和时间上市,实现农民与消费者“双赢”;温度控制模型,让钢铁的强度和韧性达到最优化;树木最佳砍伐时机模型,让我们获利最优的情况下又能确保森林资源的再循环;电力工人检测电线,找故障,汽车的行驶规律,马尔萨斯的人口增长模型等。生活实践中提炼数学问题是一个很好的教学解决实际问题;让学生体会建立函数模型的目的是解决实际问题,并感受数学应用就是从实际中来,到实际中去。
3.综合知识,进行跨学科交流
数学建模的基本思想,有关物理问题的数学模型使学生适应各学科的横向联系,能够建立一些物理问题的数学模型,培养学生分析问题、解决问题的能力,用联系的观点看问题,能够将生产实际、物理研究中的某些问题用数学知识、数学方法进行解决。了解函数思想在解决物理问题时所发挥的作用,同时对高考中具有导向意义的题目有所认识,了解高考命题趋势的发展,要求学习通过审题,自己抽象出其中的数量关系。在通过老师的帮助加以确认之后,再着手进行纯数学问题的解决,将各个学科的知识渗透到数学的学习与教学中,有助于提高学生学习数学的积极性,有助于培养高中生对知识的综合运用能力,锻炼学生的逻辑思维能力[2]。
例如,在高考中具有导向意义的知识,以物理知识和简单数学知识为基础,并以物理学科中的统计问题为背景,要求学生读懂题目,抽象其中的数量关系,将文字语言转化为符号语言。利用函数的思想、方法去解决问题,解题关键是将函数式转化为二次函数形式,这是函数思想在解决实际问题中的应用。生活中不缺乏数学,缺乏的是发现数学的眼睛。让学生大大增强了数学的应用意识,在生活中也时时留意数学。
参考文献
[1]李秉德,李定仁.教学论[M].北京:人民教育出版社,1991.
[2]罗小伟.中学数学教学论[M].南宁:广西民族出版社,2000.
参考资料http://a.shayumeichuang.com/index.php?c=show&id=8112
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