一、什么是植树问题
所谓植树问题,是在一定的线路上,根据总路程、间隔长和棵数进行植树及变形的问题。
二、植树问题的类型及相关计算公式
1.在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树,棵数=总路长÷间距+1
【例】要在长为500米的公路一旁种树,如果每隔5米种一棵,两头都要种,共要种( )棵树。
A 99 B 100 C 101 D 102
【解析】选C。不封闭路线两端植树问题,可以直接代入公式计算,树的棵树=路长÷间距+1=500÷5+1=101,选择C项。
2. 在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树,棵数=总路长÷间距-1
【例】甲乙两村之间有一条长4000米的公路,为了方便村民出行,乡政府决定在该路的一侧每隔20米安装一盏路灯。甲村头安装,但乙村村头有一个小卖部常年挂灯笼可不安装路灯,则该条公路上需要安装多少盏路灯?
A 198 B 199 C 200 D 201
【解析】选C。在两村之间植树,由于甲村需要安装路灯,而乙村不需要安装路灯,所以本题为不封闭路线的一端植树问题,根据公式,安装路灯的数量=4000÷20=200盏。选择C项。
3. 在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树,棵数=总路长÷间距
公式:植树的棵树=路长÷间距-1
【例】两楼间隔56米,现准备在两楼之间每隔4米栽一棵树,能栽多少棵树?
A 12 B 13 C 14 D 15
【解析】选B。两楼之间植树,即路的两端为楼,不需要植树,相当于不封闭路线的两端不植树问题,根据公式,种树的棵树=56÷4-1=13棵。选择B项。
4. 封闭曲线上植树,棵数=总路长÷间距
公式:植树的棵树=路长÷间距
【例】某块正方形操场边长为50米,沿操场四周每隔1米栽一棵树,问栽满四周一共可栽多少棵树?
A 199 B 200 C 201 D 202
【解析】选B。在正方形四周植树,相当于是封闭路线的植树问题。路的总长度为正方形操场的周长,50×4=200,根据公式可知,植树的棵树=200÷1=200棵。选择B项。
三、例题展示
例题1.有一条新修的道路,现在需要在该道路的两边植树,已知路长为5052米,如果每隔6米植一棵树,那么一共需要植多少棵树?
A.1646 B.1648 C.1686 D.1628
【解析】直线种树问题,根据公式棵数=总路长÷间距+1可得,一边棵数=5052÷6+1=843,则两边共种树843×2=1686棵,故本题选C。
例题2.将一段钢管截成5段需要8分钟,将长28厘米的钢管截成尽可能多的长度各不相同(长度为整数)的钢管需要( )分钟?
A.7.5 B.9 C.10 D.12
【解析】将钢管截成5段需要截4次,故截1刀用8÷4=2分钟。想要“将长 28 厘米的钢管截成尽可能多的长度各不相同(长度为整数)的钢管”,所以每段钢管的长度要尽量短,则可以截成7段长度不同的钢管(28=1+2+3+4+5+6+7),需要截6次,因此需要6×2=12分钟。故本题选D。
例题3.在长581米的道路两侧植树,假设该道路仅两端有路口,要求在道路口15米范围内最多植1棵树,并且相邻两棵树间的距离为4米,问:最多能植多少棵树?
A. 137 B.139 C.280 D.278
【解析】直线种树问题,要求在道路口15米范围内最多植1棵树,可以去掉两端的15米,所剩长度为581-15×2=551米,根据公式棵数=总路长÷间距+1可得,除两端路口外植树棵数=551÷4+1=138,一侧可植树138+2=140,则两侧植树共280棵。故本题选C。
例题4.一块三角形土地,在三个边上植树,三个边的长度分别为156米、186米、234米,树与树之间的距离均为6米,三个角上都必须栽一棵树,问共需植树多少棵?
A.90 B.93 C.99 D.96
【解析】根据封闭路线上植树的公式,棵数=总路长÷间距可得,共需植树(156+186+234)÷6=96。故本题选D。
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