论学习数学的三种境界(转载)
作者:郑州八中 刘正峰
清代词学家王国维曾在《人间词话》说:“古今成大事业大学问者,必经过三种境界:‘昨夜西风凋碧树,独上西楼,望尽天涯路.’此第一境也. ‘衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴.’此第二境也. ‘众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处.’此第三境也.”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界,对于我们每一个人来讲,也是能达到这样三种境界的.
比如我们学习数学,我认为也应该经历类似的三种境界:
一、做数学.数学光看不做是不行的,结果就犹如入宝山而空手返。数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识,才能将书本知识化为独立解决问题的能力,才能提高成绩。无论是作为学生或老师,还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树,独上西楼,望尽天涯路”吗?但数学光靠做题还是不行的,因为我们学习过程中不能老搞题海战,原因是一方面这样做我们没有这么多的时间;另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间,失去“研究数学”的机会.
二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了,认为“研究数学”只有数学家才能做到的。其实不然,正如自然的美景对于所有的人都是开放的,数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权!只要你善于独立思考,善于发现问题并勇于质疑,并想办法解决它,那么你就是在“研究数学”;只要你对数学抱有浓厚的兴趣,甚至如痴如醉,并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘,那么你就是在“研究数学”;如果你善于运用数学的眼光看生活,用数学的眼光看世界,那么你就是在“研究数学”!而 “衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴” 揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学,并且我们每个人都可以做出前无古人的发现!发现无处不在!有的同学可能会问我们怎样研究数学呢?其实“研究数学”并不高深,而且还是有规律可寻的,我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了.
首先我们可以将问题“倒过来”想.比如一道几何题,都有题设和结论的,假如题设和结论互换一下将会怎样呢?是否成立?每一个数学题都可以这样想的.如果做完题在反思的时候,倒过来这样一想,说不定你可以发现什么新定理呢!在这儿我举一个例子吧,大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”,当然证明这个命题也很简单,只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题:“如果三角形的两个角平分线相等,那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢?其实这个命题早是在1840年,数学家莱默斯(C.L.Lehmus)就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳(J.Steiner,1796~1863)首先给出证明,因而这个命题后来就称为"斯坦纳—莱默斯定理",大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢?其实这样的例子俯首皆是,数不胜数!有时候我们仔细想想,我们做人也应该如此,假如我们和同学或老师之间出现矛盾时,能用这种“倒过来”的思维方式,也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话,我们就不会有那么多的烦恼了,那么我们的生活其实可以变得更美的!
数学是思维的体操.生命在于运动,思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”!最精彩的问题来自于运动的观点的运用!比如我们研究几何中的某个原本固定的点,你不妨让这个点运动起来试试看!会出现什么变化?我们大可不必让自己缩手缩脚,眼界开阔些,是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢?甚至整个平面或整个空间上呢?不想尝试一下吗?现举一个例子,我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定值”,这个定值是什么呢?如果我们让这个点动起来,运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高!我们再想下去,如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候,距离和将会怎样呢?还等于一腰上的高吗?如果不相等的话,两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗?如果仔细研究,你肯定会发现新的结论!
三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多,关键在于自己做个细心的人!俗语不是说事事留心皆学问吗?其实这句话也可以改为:事事留心皆数学!如果学习数学时能注重训练自己思维的话,数学就可以使愚钝的人变聪明,聪明的人变得更聪明!如果在做数学的同时能经常反思,你就会从做数学中提高成绩,迷上数学,陶醉在研究数学之中!在研究数学时,有些问题常常让你百思不得其解,但又不忍轻易放弃,苦苦寻觅,使你“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”后,忽然发现方法竟如此之妙!答案如此简单!这不正是感受到 “众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的心境吗?
数学不仅很有趣的,更是美的!是一种体现我们人类思维之美的科学!如果你能够在“做数学”中发现数学之美,更能在“研究数学”中享受数学之美!这样你就达到了学习数学的第三种境界:最高境界------享受数学!
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