新教材里潜在的高考题系列32：有理数总能表示成分数

新教材好文系列继续，今天说说新教材里的有理数问题.

人教A版新教材选修2-1第57页，拓广探索的第14题：

那么，如何把一个无限循环小数化为有理数呢？

1

小学：乘以循环节，然后相减

在小学学过的方法，还记得吗？

1.纯循环小数

口诀：分子循环节，分母全是9.

比如0.131313...=13/99.

2.混循环小数

口诀：整体减不循，循9不循0.

比如：0.1203203203...

口诀的意思是：

• 分子部分：小数点后的整体（含循环节和不循环的）减去不循环的部分
• 分母部分：循环节部分用相同个数的9代替，不循环的部分用0代替

所以0.1203203203...=1202/9990=601/4995.

当然，最后能约分的要约分.

不熟悉的同学，补补小学的课程

.

2

高中：等比数列求和

进入高中，通常采用等比数列前n项和的极限值，来替代无限循环小数.

比如1.222222...=1+0.2+0.02+...=1+0.2(1-0.1^n)/(1-0.1)+...

当n→+∞时，1+0.2(1-0.1^n)/(1-0.1)→11/9，所以1.22222...=11/9.

比如1.24242424...=1+0.24+0.0024+...=1+0.24（1-0.01^n）/(1-0.01)+...

同理可得，原数=123/99.

3

违背直觉：0.9999...=1

这是民间争论最多，最违背直觉，但在数学界无争议的结论.

0.99999...=0.9+0.09+0.009+...=0.9(1-0.1^n)/(1-0.1)+...

当n→+∞，0.9(1-0.1^n)/(1-0.1)→1，所以0.99999...=1.

这个证法比1/3×3=1的证法、比9.999...-0.9999=9的证法更能体现极限思想，也展现了等比数列前n项和极限值的巨大威力.

在很多证明题中，看到形如a1/1-q的形式，要联想到它可能是某个等比数列前n项和的极限值，从而把已知数列朝等比数列进行放缩.

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