新教材里潜在的高考题系列42：海伦公式和婆罗摩笈多公式

新教材好文系列继续，今天说说教材里的海伦-秦九韶公式.

海伦-秦九韶公式

给定三角形三边，求三角形面积.

常规步骤是这样的：

1.用余弦定理先求某个内角的余弦；

2.用同角三角函数关系，求出该角的正弦；

3.用面积公式S=0.5absinC.

海伦公式横空出世，不用求角，直接通过三边就能求出面积.

以前都是在民间使用，现在进入教材了.

人教A版新教材必修第2册第54页，拓广探索的第20题.

所以，海伦公式可以理解为一个快捷公式.

第55页，又以整版的形式讲解海兰公式的来龙去脉，可见教材的重视程度.

同时，因为海伦公式的结构十分工整，所以也容易记住.

因此，一段时间海伦公式成为网红小公式，那么四边形有没有这么优美的公式呢？

婆罗摩笈多公式及其推广

有的.

一个叫婆罗摩笈多的印度数学家，发现了这样一个优雅的公式.

若四边形ABCD有外接圆，四边长分别为a,b,c,d，周长的一半为p，则四边形ABCD的面积S=√（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）.

注意前提：四边形ABCD有外接圆.

三角形都是有外接圆的，对不对？

在婆式公式中，令a=0，一条边消失，四边形变为三角形，婆式公式就变为了海伦公式.

因此，海伦公式能看作波罗摩笈多公式的特例.

那么，没有外接圆的四边形面积如何求解呢？

众所周知，四边形是不稳定的.

给定四边长，当这个四边形动起来的时候，面积可能是变化的.

所以，我们估计，任意四边形的面积，除了与四边长有关系之后，还与内角有关系.

推广开来，任意四边形的面积公式为

S=√（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）-abcd（cos(A+C)/2）^2.

若四边形为圆的内接四边形，则A+C=π，（cos(A+C)/2）^2=0，S取得最大.

拿下面这道练练手吧：

能力够的读者朋友，不妨自己试试这个公式的推导过程.

详细目录，可以参考下面的文章：

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