拉格朗日乘数法解决高考压轴小题

拉格朗日，全名是约瑟夫·路易斯·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，举世闻名的数学家、物理学家、天文学家，曾获得18世纪“欧洲最大之希望”、“欧洲最伟大的数学家”的赞誉，由此可见他的历史地位，而在以后的学习中，我们会十分频繁地见到这个人物。虽然我们可能以后才会学到和他有关的知识和定理，但是在高考中，我们仍然可以从中获得对我们有帮助的方法。今天，我们就来介绍一下：如何用拉格朗日乘数法解决高考压轴小题。

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。拉格朗日乘数法本来是高数中的知识，但是对于高考的某一类压轴小题，如果我们能学会这个方法，对于问题的求解就可能更为简单，在考场上节省我们宝贵的时间。所以在此进行简单的介绍，希望能够对大家有所帮助。

首先来看一道模拟题：

在我给出高中做法之前大家可以自己尝试做一做

解：∵实数x，y满足x2-4xy+4y2+4x2y2=4，

变形为：（x+2y）2+（2xy-2）2=8，

令x+2y=2√2sinθ，2xy-2=2√2cosθ，θ∈[0，2π）．

则当x+2y取得最大值时，θ=π/2，

则x+2y=2√2，2xy-2=0，

解得x=√2，y=1/√2．x/y=2．

故答案为：2．

对于很多学生，看到这类题，我们好像有点思路，但是仿佛又无从下手，最后带着些许的遗憾放弃这道题，或者根本不知道这道题是什么类型的，没有方法。那么对于这类棘手的问题我们如何解决呢？

显然，答案就是拉格朗日乘数法。

首先声明对于这种做法，最好在小题上使用，加快我们的做题速度，对于大题，我们最好不用这个做法，实在想不到其他做法再进行使用。如果看完文章之后，你觉得这个方法太难了或者没有什么帮助，也可以不用理会。

在教你如何做题之前，希望你能对拉格朗日乘数法的做法有个整体的感受，首先给出拉格朗日乘数法的一般做法：

设目标函数z=f（x，y），在约束条件

下取得极值，且

为其极值点，为了寻找这个附加条件上的极值点。令：

通过这三个方程组，我们可以解出

则其中的点

可能为其极值点，对于高中来说，大部分题求出来的这个点就是极值点。好了，整体上了解了过程后，你可能对偏导数什么的不太了解，接下来我一点点教你如何利用这个东西解决高考的题目。再来看之前的那道题

显然x+2y是题目中的目标，将x+2y设为我们的目标函数z，当x+2y取到最大值的时候，就是z取到了最大值。而

就是这个函数的约束条件，很容易理解，如果没有这个条件，我们就可以在xoy平面任意取点，而有了这个约束条件，我们就只能在满足这个条件的x，y中进行取值。令

和一元函数类似，我们可以把这个里边有两个变量的叫做二元函数，这样可以设出

现在我们做好了第一步，接着又来了另一个问题，偏导数是什么，在高中的时候，我们都学过导数的定义，也都知道了导数的运算法则，在此我就不再赘述了。一元函数在一点的导数表示函数在该点的变化率，它反映了在该点处函数值随自变量值变化的快慢程度，对于二元函数，当然也需要研究它的变化率问题。

比如山的高度z是关于位置x，y的二元函数z=f（x，y），这时候地面上每一个x，y都对应着一个值z，把这个值都画出来，我们可以连成一个曲面。那么我们如何研究山的高度的变化率问题呢？

当我们把y固定下来时，比如说y=1，这时函数就变成了一个关于x的函数，这样我们就能求出这时z对于x的导数。这种把y固定在某个地方，然后计算函数在x方向上的导数，我们把它叫为z对x的偏导数。同样我们可以把x固定在某个地方，计算函数在y方向上的导数，称为z对y的偏导数。以爬山为例，知道了偏导数，也就是知道了在x，y方向上的变化，显然在爬山时，只要知道了我们朝前和朝左走了多少，我们就能知道我们向上爬了多高的山，就能知道z的高度变化率问题。当我们在研究x的方向的变化时，我们只需要把y固定下来，把y当作一个常数，求出F（x,y,λ）对于x的偏导数，同理我们可以求出F（x,y,λ）对于y的偏导数。

解这个方程组，我们可以得到x=2y

因此，值是2，虽然我们解出了方程，但是我们没有办法确定这个点就是极值点，而对于填空题，这个值一般就是答案。

现在我们可以总结一下做这类题目的一般方法了:

第一步：确定出我们要求的目标函数，明确附加条件

第二步：构建出一个新函数

第三步：把其他变量固定，对于x求导。重复这个步骤，直到对于函数的所有自变量都求了导数。

第四步：求解这个方程组

第五步，求出来的点一般就是极值点，在进行对题目的求解。

现在，我再给出一道习题，学会这个方法之后你可以尝试做一下

习题：欲生产容积为常数V的无盖长方体盒子，问如何设计才能使盒子的表面积最小？

好了，对于这个类型的题，我们只需要这五步，就能做出来。再次重申一遍：对于这种做法，最好在小题上使用，加快我们的做题速度，对于大题，我们最好不用这个做法，实在想不到其他做法再进行使用。如果看完文章之后，你觉得这个方法太难了或者没有什么帮助，也可以不用理会。

而为什么可以这样做，等到大学学习高等数学我们就会有更加深入的理解。目前我们只需要知道这种方法，利用这种方法做题，节省我们的时间。或者对于我们做出来的答案进行检验。