各位朋友,大家好!“数学视窗”给大家分享一道有关圆的综合题,这道题目给出的条件较多,有3个小题,其中第3小题难度比较大,属于中考的综合能力题,很多人看到此题后,只能做出第1小题。当然,对于成绩一般的学生来说,做出第一问就不错了,选择放弃后面两问也是合理的。此题考查了相似三角形,勾股定理的运用等。下面,我们就一起来看这道例题吧!
例题:(初中数学综合题)已知在△ABC中,经过点A、B作圆交AC边于点D,交BC边于点E,点P是圆内一点,且满足∠APD=∠BPE=90°,∠ADP=∠PBE,连接AE和BD交于点F.
(1)求证:△APD∽△EPB;
(2)探索AE和BD的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=√3 DE,BD=4,当DE=2√3时,求EF的长度.
分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路:
(1)由∠APD=∠BPE=90°,∠ADP=∠PBE,即可得出三角形相似;
(2)先通过对应线段成比例,证明△APE∽△DPB,得出∠PAE=∠PDB,故∠AFD=∠APD=90°,即可得到AE和BD的位置关系;
(3)由△ABF∽△DEF得到BF/EF=AB/DE=√3,设EF=x,在Rt△DEF中,DF2+EF2=DE2,即(4-√3x)^2+x^2=(2√3)^2,解方程即可得解.
解答:(以下的过程仅供参考,部分过程进行了精简,并且可能还有其他不同的解题方法)
(1)∵∠APD=∠BPE=90°,∠ADP=∠PBE,
(非常简单,直接利用相似的判定)
∴△APD∽△EPB;
(2)∵△APD∽△EPB,
∴PA/PD=PE/PB,
∵∠APE=∠APD+∠DPE,
∠DPB=∠EPB+∠DPE,
∴∠APE=∠DPB,
(对应线段成比例,且夹角相等)
∴△APE∽△DPB,
∴∠PAE=∠PDB,即∠PAG=∠FDG,
∴∠AFD=∠APD=90°,
∴AE⊥BC;
(3)∵∠ABF=∠DEF,∠BAF=∠EDF,
(同弧所对的圆周角相等)
∴△ABF∽△DEF,
∴BF/EF=AB/DE,
∵AB=√3 DE,BD=4,DE=2√3,
设EF=x,则BF=√3x,DF=4-√3x,
在Rt△DEF中,DF2+EF2=DE2,
即(4-√3x)^2+x^2=(2√3)^2,
解得x1=√3+√2(舍去)
或x2=√3-√2,
∴EF的长是√3-√2.
(完毕)
这道题是圆的综合题,主要考查了三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等,题目综合性强,有一定难度。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。
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