小学数学好题巧解 | 第55题

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〖第55题〗

72的全部约数有几个？

【普通解法】

采用枚举法，从小到大一一找出，然后数出个数。（解答略）

【巧解一】

采用分解质因数的方法。72=2³×3²，从2³来看，72的约数中有1,2,2²，2³四种情况；从3²来看，72的约数中有1,3,3²三种情况。把两者结合起来，即1,2,2²，2³分别乘以1,3或3²，即可得到1,2,4,8,3,6,12,24,9,18,36,72共12个约数。

由以上的解答可知，计算约数的个数不必将约数一一举出，72的所有约数的个数12，实际上是72的两个质因数2和3右上角的数各加上1后的乘积，掌握了这个规律，我们可以很简单地求出任何自然数所有约数的个数。

例如，自然数180分解质因数是2²×3²×5，所以它一共有(2+1)×(2+1)×(1+1)=18（个）约数。