题型主要对象:《2020年江苏卷第20题导数题》
题型展示目的:一般我们解答数列以其相应的特殊方法求通项公式,或利用方法求其相应的前n项和,这也是我们常规对于数列影响,或利用放缩法进行分析。
但2020年江苏卷第20题数列题,其演绎了一道利用纯“方程”运算的讨论,结合数列自身性质来进行分析的一道“压轴”数列。
2020年是江苏卷最后一年的本省命题,2021年即将加入全国卷,所以就该题,我们也希望通过我们的详细分析,增长同学们的见识。
我们从题意中,可以注意该题总共分成3小步,而且每一小步都是独立分开,说明题目的难度在不断递进,所以应多过程中,必须细心注意好每一小步给出对象的不同,考虑的应对方向也应该不同,这点是这道题中非常重要的一个环节。
主要涉及阅题理解得当,注意k=1时相应的通项公式的特点,且为等差数列,是较为简单的送分题。
该小题,为送分题目,但其验证问题,可能有部分同学们会忽略,这一个比较容易丢分点。
细心掌握题意的要求,按照基本概念出发,是该题的核心。
赋值对象不同,而且k作为分母,k=2开启根号模式,这点在应考上,应该首先注意到,然后再结合数列的特点与方程之间关联性进行分析应答。
从第二小题,我们可以看到,题目涉及的对象开始复杂,由于k作为分母,k等于2,其涉及运算升级到平方、平方差等各种细节的处理上,所以运算在该中充当非常重要的作用,也方程运算中非常重要的底层运算。而借助平方差与平方之间的细节处理,借助题意,顺利化简方程,可以得到需要的数列通项公式,是解题的关键。后续转换则数列里面比较常规的通项公式分析问题,如等比数列的证明、前n项和推导通项公式等。
该题重在运算的处理细节上,把控好方程之间关联,切勿着急分析。
第三小步,赋值对象不同,而且k作为分母,k=3开启3次幂模式,这点在应考上,应该首先注意到,然而3次幂的难度也提高了一个档次,说运算方程必须步步为营,注重细节处理,根据题意,顺题而为。
该步聚总结,因为题目给出最高次幂为3次,涉及运算可能会不断加大,又含有未知数,所以能尽快通过换元转入基础方程最为重要,这样即可以简化方程,也能让分步讨论有更大的依据。
1、该题分析对象为三次幂对象,其难度系数要远远高于前面的内容,因为涉及数列的分析,所以尽早采用“换元法”,将式子简化为第一关键要点。
2、式子简化过程中,要注意相应的范围限制,在后续讨论中是非常重要的。
3、涉及的方程特征性质非常中,比如一次函数、三次幂分析、完全平方,配方对象,处处均为方程运算中重要的技巧。
4、最后转换二次函数,利用求导分析的主要原因是二次函数带未知数,而且范围确定,为个更加清晰的分析,导数工具在这里可以发挥非常重要的作用。
5、分析相应的结果后,还得将题目要分析的对象描述清晰,尤其最后的结论模式,类似于树状图,可以绘制无数个数列,所以满足条件。
该题目分三小题,步步加大难度,设计一元一次方程,一元二次方程,一元三次方程,平方差,完全平方,三次方差,换元法简化式子,二次函数转导数分析,是一个具备大量运算技巧的题目;
对于数列自身定义考查,仅限于基础数列、通项分析、前n项和分析,数列其他大量的技巧并没有特意的去考查。
整体内容,非常值得同学们去参考,是一道将方程运算发挥到位的题型,尤其每个步骤运用的解答方式不同,可以拓展我们的认知性。
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