科学大唠嗑之时空（1）无穷大有多大

科学大唠嗑

张喆

天津市天文学会会员

天津科技馆科普辅导员

读书会共读老师

这一期咱们来讨论一个纯数学问题，那就是无穷大到底有多大？

有这样一个故事。两个匈牙利贵族决定玩一场游戏，看看谁能说出世界上最大的数。

一个人说：“你先说吧。”

经过几分钟的苦苦思索，第二个贵族终于说出了他能想到的最大的数。

“3”

现在轮到第一个人思考了。一刻钟以后，他说。

“好吧，你赢了。”

当然，这个故事可能只是一个笑话。不过，类似对话在霍屯督人之中可能的确发生过。根据非洲探险家的说法，许多霍屯督部落的语言中没有表示3以上数字的词语。当你向那里的原住民询问他有多少儿子或者杀死过多少敌人时，如果这个数字大于3，他会回答“很多”。

现在，只要在某个数字右边写下足够多的零，我们就可以写出我们希望表示的任意大数字，不知不觉写下一个比宇宙中原子总数还要大的数。这个数字其实已经不小了，它是3×10^74（这是什么意思？留言即可得到答案）。

公元前3世纪，具有伟大头脑的著名科学家阿基米德指出，人们可以写出非常大的数。

阿基米德在著作《数沙者》中提出的大数表示方法与现代科学的大数表示方法类似。他从古希腊算术中最大的数入手，这个数是一万。接着，他引入了一个新数，即一万万，他称之为“亿”或“二级单位”。“亿亿”被称为“三级单位”，“亿亿亿”被称为“四级单位”，依此类推。

大数的受害者之一是印度舍罕王。

根据古老的传说，总理大臣西萨·本·达希尔发明了国际象棋，并且献给了国王。国王想要奖励他。

聪明的总理大臣似乎没有太大的欲望。他跪在国王面前，说道，“陛下，请在棋盘第一格为我摆上一粒小麦，第二格摆上两粒小麦，第三格摆上四粒小麦，第四格摆上八粒小麦，每一格的数量如此加倍。请为我提供足以摆满64格棋盘的小麦。”国王很爽快，答应了他的要求。

计数开始不久，人们很快意识到，即使交出印度所有粮食，国王也无法满足他对西萨·本的承诺。

有些数字虽然看上去很大，但是这些数字仍然是有限的，只要有足够多的时间，我们仍然可以写到最后一位。

不过，有一些真正具有无穷性的数。不管我们花费多少时间，我们写下的数都没有这些数大。例如，“所有数的数量”显然是无穷的，“一条线上所有几何点的数量”也是如此。

像这种无穷大的数字，在数学上经常能碰到，但是没人能真正想象出，无穷大的数字到底有多大。

数学家对无穷大做过很多研究，发现它的性质，跟普通的数字完全不同。

最先思考无穷大这个问题的是一位叫格奥尔格·康托尔的数学家，他提出了一个问题：像1、2、3、100这样的整数，一共有无穷多个；一条线上点的数目，也是无穷多个。那整数的个数和一条线上点的个数，到底哪个更大些呢？你肯定会想，既然都是无穷大了，那还怎么比呢？无处下手嘛。

但数学家还真想出了一个办法，叫“一一对应”。

还记得刚才说的霍屯督人吗，如果他们希望知道自己的财宝箱里有更多的玻璃珠还是更多的铜币。虽然他们只能数到三。但是，他们是否会因此而放弃对于玻璃珠和铜币数量的比较呢？当然不会。

如果足够聪明，他们可以一件一件地比较玻璃珠和铜币。把一个玻璃珠放在一个铜币旁边，把另一个玻璃珠放在另一个铜币旁边，这样一直放下去……如果玻璃珠用光了，铜币还剩下一些，就说明铜币多于玻璃珠。如果铜币用光了，玻璃珠还剩下一些，就说明玻璃珠多于铜币。如果同时用光了，玻璃珠和铜币就一样多。

数学家们在比较两个无穷大的大小的时候，用的就是类似的方法。比如说，奇数和偶数的数目都是无穷的，那奇数和偶数哪个更多呢？你可以用奇数1对应偶数2，奇数3对应偶数4，奇数5对应偶数6……这么一来就会发现，奇偶数可以一一对应，所以奇数的总数和偶数的总数是相等的。这个很容易理解，但如果往下再追问一层，问题就复杂了。

比如说，偶数的总数和整数的总数，哪个更多呢？整数包含了所有的偶数和奇数，所以乍看起来，肯定是整数要比偶数多。但如果你用一一对应的规则来算一下的话，就会发现结论好像不是这样：你看，整数1可以对应偶数2，整数2可以对应偶数4，整数3可以对应偶数6，你可以一直这么对应下去，发现二者刚好是可以一一对应，一个不多一个不少的。

也就是说，整数的数目，跟偶数的数目，其实是一样多的。由此可见，在无穷大的情况下，部分是可以等于整体的，这跟我们的常识很不一样，是违背我们的直觉的。

如果你想形象化地理解这个问题，那可以借助德国数学家希尔伯特提出的一个著名的思想实验，叫——希尔伯特的旅馆。

希尔伯特旅馆是一家拥有无穷个房间的旅馆，而且所有的房间都已经住满了。那如果这时你要去住店，旅馆能不能装得下呢？老板说，可以！我把你安排到1号房间，然后把原来住在1号房的旅客移到2号房间，2号房的旅客移到3号房，3号房的旅客再移到4号房……一直这么移下去，大家就都能有房间住。

那如果说，你不是一个人去住店，而是带了无穷多的人一起去住店，那旅馆能不能住得下呢？答案还是可以。老板可以把1号房的旅客安排到2号房，2号房的旅客安排到4号房，3号房的旅客安排到6号房……这么一直递推下去，所有新来的人都可以住进去。

从“希尔伯特的旅馆”中就能看出，在无穷大的情况下，整体和部分有可能是一样大的。无穷大加上无穷大，还是等于无穷大，日常的数学观念在这里失效了。

那是不是说，所有无穷大的数字都是相等的呢？也不是。我们可以回到刚才康托尔提出的那个问题，整数的个数，和一条线段上的点的个数，哪个更多呢？

继续用一一对应的方法来看一下。我们可以给线段上的每一个点都赋予一个数字，这个数字就是它距离线段一个端点的距离，这很好理解。那这条线段上不光有代表整数的点，还会有代表小数的点，还有代表无限不循环小数的点。如果你用整数去一一对应这些点的话，就会发现，无论你用什么方式，总有一些点是你对不上的。

所以，虽然二者都是无穷大的，但线段上点的数目，要大于整数的数目。也就是说，即使都是无穷大，但不同的无穷大之间也可能存在着大小区分。有些无穷大，就比其他的无穷大要高上一个等级。

目前数学家发现，无穷大数一共有三个等级。

第一级无穷大，就是整数的数目;

第二级无穷大，就是线段、长方形、立方体这些几何结构里点的数目。也就是说，一条线段上所有点的数目，跟一个长方形里所有点的数目，或者是一个立方体内所有点的数目，都是一个级别的，是相等的;

第三级无穷大，是所有曲线的形状的数目。就是假如你随手画一条歪歪扭扭的曲线，随便画，你肯定能够画出无穷多种形状的曲线。这些千奇百怪的曲线的总数，是无穷大的，而且是第三级无穷大，是最高等级的无穷大。

直到现在为止，数学家也没有发现比这个无穷大还大的数字。

总结一下，无穷大到底有多大？数学家采用一一对应的方式，对不同的无穷大进行对比后发现，无穷大数字的性质，跟普通的数字完全不同。在无穷大中，整体和部分可以一样大。

但也并不是所有的无穷大都是一样大的，目前科学家一共发现了三级无穷大，比如线段上点的数目，就比所有整数的数目要更大。

下一期咱们来聊聊虚数有什么用，今天的内容就是这些，咱们下期再见。