【第408期】用好长方体，巧解立体几何！

滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！

用好长方体，巧解立体几何！

长方体是我们最为熟悉的一个几何体模型，它本身具有一系列特殊的性质，因此有许多题目会围绕长方体进行设计，或者借助长方体进行求解会顺利很多.今天我们在这里将长方体中的一些经典问题进行汇总，希望能够为解题和思维的提升带来帮助.

一、长方体的性质

长方体的性质较多，在小学和初中学过长方体的一些基本性质如垂直、平行外，对于高中学生还需要掌握下面的这几个性质.

这里给出的实际上是线线成角，证明的方法很简单，用好其中的直角三角形，抓住三角函数定义即可.

利用此结论可在已知长方体的一条对角线与一个顶点的两条棱所成角的情况下，求出与另一条棱所成的角.

这一结论的本质是线面角的问题，虽然现在空间向量的引入使得几何方法研究线面角这一方法退化，但是对这个结论的证明可以起到强化线面角的定义理解.

利用此结论，可在已知长方体对角线与两个面所成角的情况下，求出与另一个面所成的角.

这里选取的两道题目都是比较典型的题目，不仅要会计算，更要对其求解方法理解，并对其中蕴含的思想和结论在后续的解题中进行运用.

二、长方体与空间位置判断

空间位置关系的判断是立体几何中的基础问题，通过对空间位置关系的判断来考察学生的空间想象能力.一般情况下，此类问题比较容易，但是个别学生空间想象力差，对于此类问题常常束手无策，这时借助长方体模型可以起到快速求解.

利用长方体或正方体进行空间位置关系判断时，比较直观，容易发现线线、线面以及面面的关系，但是有时也会出现误判，因为平行垂直的关系较多，可以通过变换不同的几何元素来进行检验，这样一般情况下得出的结论更准确.

三、长方体与三视图

三视图的还原对空间想象力要求较高，部分同学看到图像不能准确还原，更谈不上利用直观图求解问题了.根据三视图的形成原理：物体向三个互相垂直的投影面分别投影所得的三个图形摊平在一个平面上，就是三视图.长方体（或正方体）正好有这样的三个投影面，从而我们就可以将三视图利用这三个投影还原成几何体，也可以将较为复杂几何体放入长方体（正方体）中画出三视图.

四、长方体与外接球

长方体的外接球问题一般属于隐藏型，即所给的几何体外接球可以通过补形，将其化归为长方体的外接球问题，这时可借助长方体的特点顺利求得外接球.

本题中利用补形，将直三棱柱的外接球问题转换成长方体的外接球问题，这一方法的运用，避免了利用几何关系寻找球心，计算半径，使得问题得到了优化.对于外接球的一些求解方法，可以参考前面的【第407期】空间几何体中的球.

长方体模型的灵活运用可以助力立体几何问题的求解,这点是毋容置疑的.如果做一个有心人，将这一思想不断的改进，将立体几何中的其他问题与其对应、化归，可以在解题时事半功倍.特别提醒的是，模型的运用是有条件的，即已知问题和模型之间有关系，千万不要一味的简单套用，那样会适得其反的.

用好长方体，巧解立体几何！，我在这里起步，期待你前进的脚步走的更远！

【经典回顾】

【第81期】同步复习篇——简单几何体

【第82期】同步复习篇——直观图与三视图

【第83期】同步复习篇——空间图形的基本关系

【第84期】同步复习篇——平行关系

【第85期】同步复习篇——垂直关系

【第86期】同步复习篇——面积与体积