【第417期】空间向量之基底法

滴水穿石，不是因为力量，而是在于坚持！

空间向量之基底法

空间向量是平面向量的推广，无论是向量的概念和运算等都保持着平面向量的特点.如果说平面向量用来求解平面几何问题，那么空间向量的主要任务就是实现立体几何的向量求解.这一方法的出现，使得立体几何中部分题目利用空间向量求解，弱化了逻辑推理，特别是空间向量的坐标运算，基本上实现了立体几何问题代数化，在方法转化的同时降低了立体几何的难度.不过学生学习空间向量时重视坐标运算，忽视空间向量基本定理（即基底法）的运用，遇到一些不易建立空间直角坐标系的问题时就会束手无策，这是不可取的，这里选取部分问题进行说明.

本题中直接建系比较麻烦.因为建系的基本条件不具备，如果采用建系则需要创造建系条件，同时进行设边长表示坐标，更为重要的是点的位置不易确定，再寻找点的坐标时也比较麻烦.相比之下，利用空间向量基本定理表示后直接进行数量积运算要好很多.

本题中的参考答案揭示了运算过程的复杂性.同样题目中的条件不适合建系，反而利用空间向量的基本运算求夹思路清晰，运算简洁，即使答案复杂也不受影响.对此我们要清醒的认识到，空间向量是工具，千万不要拘泥于坐标法，那样无疑是作茧自缚.

空间中的平行和垂直利用基本空间向量基本定理也可以证明，只需要明确证明的方向，其过程与平面中中证明垂直和平行类似，这在不易建系的情况下还是很有优势的.关键在于做题时要有这样的意识，在解题时才会举重若轻.

空间向量是一个工具可以帮助我们求解立体几何问题，但一定不要忘记立体几何主要考察的是空间想象力和逻辑推理能力，如果条件允许，尽可能的采用立体几何的推理方法，减少向量法的运用，如几何法对二面角直接可以确定，而向量法对二面角则难以确定.如果在运用向量法时，能够有意识的使用空间向量基本定理，也可以锻炼思维，避免直接运用坐标法将推理问题变成代数计算，那样就是为了解题而解题，失去了以题为载体训练方法和思维的价值，显然不是我们想看到的.

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