一道2004年日本数学奥林匹克试题

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2004年日本数学奥林匹克有这样一道试题:

题目  证明: 不存在正整数n, 使得2n² + 1, 3n² + 1, 6n²+ 1全为完全平方数.

证明  若题中结论不真, 那么, 设此三数均为完全平方数, 则

是完全平方数. 但这是不可能的, 因为不存在两个正整数的平方差为1.

注记  这道竞赛题条件太强, 事实上, 可以证明不存在正整数n, 使得2n² + 1, 3n² + 1都为完全平方数, 但证明方法比较高深, 下面我们提出:

     探究问题  用初等方法证明: 不存在正整数n, 使得2n²+ 1, 3n² + 1都为完全平方数.

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