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王仕奎编著《随机信号分析——理论与实践》
东南大学出版社， 2016
中国有很多人有着重男轻女的封建意识, 认为只有男孩才能传宗接代, 女孩不能传宗接代, 这种观点是完全错误的. 只要你的基因足够优良, 那么就会通过儿子或者女儿一代一代地遗传下去, 从生物学的意义上来说, 儿子和女儿都是后代, 都是可以传宗接代的; 如果你的基因不够优良, 那么谬种流传, 又有什么意义呢? 另外, 只要你足够优秀, 取得很大的成就, 那么不管是儿子还是女儿以至孙子和外孙, 都会以你为荣: 现在人们一提起作家张爱玲, 就会提起张爱玲的曾外公李鸿章(张的祖母是李鸿章唯一的女儿), 可是又有多少人知道张爱玲的曾祖父安徽按察使张印塘呢? 反之, 如果你很平庸, 那么即使生十个儿子又有什么用呢? 他们或平庸或发达, 会有一人以你为荣吗?
随机过程里面有一个很有趣的理论, 即离散分支过程, 可以预言一个种族灭绝的概率有多大. 在我编著的[1]中, 举了一个例子, 我称之为物种灭绝问题, 是该书第5章的例5.14, 题目如下:
下面对题目进行解读. 假设一个人以概率1有一子或一女, 然后每一个后代都以概率1有一子或一女, 显然这个人是不会“绝后”的, 因为不管过了多少代, 他都会有一个男性或者女性后代.
如果后代的概率分布复杂一点, 那么结果就不是那么显然的了, 即如本题, 假设一个人以概率1/4没有后代, 以概率1/2有1个后代, 以概率3/16有2个后代, 以概率1/16有3个后代, 虽然后代的期望值为
但是, 理论分析和计算机仿真都表明, 若干年后, 此人将以概率0.8284绝后! 这是一个大概率事件.
理论上是如何计算的呢? 文献[2]对离散分支有非常严格的定义, 这里为省事, 不照抄了, 拍照如下.
在引进一些数学工具(如母函数)并证明一个定理即“离散分支的灭绝定理”之后, 该书举了如下一个例子:
理论计算表明, 尽管一个个体产生后代个数的期望值为17/16, 但是, 该个体却以很大的概率(0.8284)绝后! 这个结论似乎有违常理, 那么我们可以用计算机试验一下, 是不是真的如此, 计算机是不会骗人的.
显然, 这是一个马尔可夫链, 由于其状态转移概率不随时间而改变, 因而也是齐次的. 不妨进行10,000次试验, 设该物种繁衍了40代, 计算40代后物种灭绝的频率作为灭绝概率的近似值. MATLAB代码如下
clc; clear;
% 模拟物种灭绝问题
tic
roundCount = 10000; % 实验次数
generationCount = 100; % 物种繁衍的代次
p = [0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3];
% 模拟个体以某一概率产生下一代个体
round_extinction = 0; % 初始化物种灭绝的次数
for round = 1 : roundCount
X1 = 1;
forgeneration = 1 : generationCount
X0 = X1; % X0表示上一代个体的数目
X1 =0; % 下一代个体的数目(初始值为0)
for x = 1 : X0
X1 = X1 + p(random('unid', 16, 1));
% 将下一代的个体累加
end
if X1 == 0 % 该物种灭绝时终止循环
break;
end
end
% 如果X1为0(i.e.该物种灭绝), 则将物种灭绝的次数加1
if X1 == 0
round_extinction = round_extinction + 1;
end
end
round_extinction / round % 计算物种灭绝的频率
time = toc
运行得
ans =
0.8170
time =
81.6524
程序运行结果表明, 试验10,000次, 有8170次经过40代之后灭绝, 灭绝的概率为81.70%, 和理论值82.84%有一定误差, 这是由两个原因造成的: 一是试验的次数不够大, 二是试验中设置的代次不够大. 另外, 程序运行时间的大约是82秒. 将试验的代次改为100, 仍进行10,000次试验, 运行结果为
ans =
0.8332
time =
4.3220e+003
结果表明, 试验的代次generationCount越大, 频率值越接近理论值0.8284, 但付出的代价是运行时间特别长, 当取generationCount = 100时, 在Intel Cereron CPU G1820上运行约一小时零一十二分钟, 时间是相当长的.
分别取generationCount= 10, 20, …, 100, 仍然进行10000次试验, 将物种灭绝的频率和代次之间的关系用下图表示, 可以看出经历的代次越大, 则物种灭绝的概率越来越趋近于理论值0.8284.从此例可以看出, 尽管该物种的每个个体产生的后代个数期望值17/16> 1, 但是经过足够长时间(比如100代)后, 该物种灭绝的概率却很大.
图 物种灭绝的频率和代次之间的关系示意图
据2010年统计, 我国的不孕率约为12%, 而且有上升的趋势. 假设每个人生一胎的概率为80%, 生二胎的概率为8%, 不孕的概率为12%, 那么根据分支过程理论, 经过若干代后, 任何人都以接近100%的概率“绝后”.
幸运的是, 我国及时改变计划生育基本国策, 提出放开第二胎, 中国的人口结构会逐渐得到改善.
参考文献
[1] 王仕奎. 随机信号分析——理论与实践. 东南大学出版社, 2016
[2] 孙荣恒. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 2004
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