扉页上的小题

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扉页上的小题

徐州  赵力

Springer出版社2017年出版了由Hayk Sedrakyan和Nairi Sedrakyan编著的新书: Geometric Inequalities: Methods of Proving.

这是一本几何不等式的问题集, 包括八个章节, 共收集了1000余道题目, 其中绝大部分问题出自数学竞赛及著名杂志问题栏, 并且多数给出了较为详尽的解答.

有趣的是, 在这本书的扉页上, 以无字证明的方式给出了一道简洁而有趣的几何不等式问题:

下面我们就来解决这个几何不等式问题.

分析:

注意到单纯从三个互相外切的圆并不能给我们提供太多的信息, 任何三个圆都可以依靠在一起互相外切. 所以, 能给我们进一步限制条件的只有它们均内切于一个三角形了. 这能带给我们什么呢? 那就是两边相交. 这就足够了.

证明:

当r₁, r₂固定, 而让r₃逐渐增大时, 与半径为r₃的圆相切的两边AC, BC逐渐趋向于平行. 设当这两条边平行时对应的圆半径为r₃', 则r₃ < r₃'.          ①

如上图所示, 在AC//BC的极端情况下, 两平行线之间, 以垂直线段最短, 因此我们有2r₃' <= 2r₁+ 2r₂, 即r₃' <= r₁ + r₂.          ②

结合①和②, 便得r₃ < r₁+ r₂.

附 该书目录:

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