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一个几何不等式命题的简解及类比
徐州 赵力
下面给出该命题的几个解答.
第(i)问其实是一个陈题, 为1990年IMO Longlist的问题106, 有兴趣的读者可参见文献[1], 该书中的证明洋洋洒洒, 长达两页. 此外, 最近笔者在微信群内也见到一个证明, 使用了诸多公式及技巧, 篇幅与之几乎一样长, 此处不再列举.
1992年, 苏化明老师介绍了(i)的一个简短的三角证法(参见文献[2]), 简介如下.
1999年, 王民珠, 梅玉藻老师介绍了一个利用Erdös-Mordell不等式对(i)的证明(参见文献[3]).
所谓的Erdös-Mordell不等式指的是:
首先, 两位老师证明了一个引理:
若三个圆相交于一个点P, 则三条公共弦之和不大于三个圆半径之和.
这个引理的证明不难, 只要注意到每两个圆的圆心连线为该两圆公共弦的垂直平分线, 即可将问题转化为Erdös-Mordell不等式.
这个证明的巧妙之处在于将内心的问题转化为外心, 从而迅速解决问题.
但这个证法还不是最简捷的. 继续深挖图形的特点, 还可以有以下发现(见图3).
这个证法中, 将内心转化为垂心, 与上一证明将内心转化为外心有异曲同工之妙.
不仅如此, 该证法的思路对简捷证明(ii)起着非常重要的提示作用. 在此思路下:
而由AM-GM不等式, 这是显然成立的.
有趣的是, 在此内心-垂心转化下, 可以很容易地得到关于垂心的类似命题.
对于(ii), 仍沿用面积方法, 可将原不等式转换为证明
而这正是Nesbitt不等式, 结论自然成立.
在文献[2]中, 苏化明老师利用三角方法, 给出了此命题结论(i)的证明.
有了内心-垂心的类比, 自然会问是否有关于重心的类比不等式(关于外心的结果是平凡的等式, 故不再列出). 结论是肯定的, 有以下结论:
关于此命题结论(i)的证明, 可参见苏化明老师的文献[2]. 利用苏老师证明中的中间结论, 很容易给出结论(ii)的证明, 这里就不赘述了.
参考文献
[1] 胡大同, 陶晓永. 第31届国际数学竞赛预选题 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1991: 24.
[2] 苏化明. 谈一道IMO预选题 [J]. 中学教研: 数学版, 1992, 第5期: 28-30.
[3] 王民珠, 梅玉藻. 厄尔多斯-摩德尔不等式的应用 [J]. 中等数学, 1999, 第3期: 20-21.
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