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答黄一航同学提问
王仕奎
广东工业大学大四学生黄一航提问, 连续时间信号x(t)的傅里叶变换X(jω)的奇偶性和x(t)是实信号还是奇信号有什么联系. 黄同学对x(t)和X(jω)之间的关系做了总结, 如下图所示.
黄同学的总结
并发来一道奥本海姆教材例题. 下面就相关问题进行讨论.
为什么要讨论x(t)的虚实性、奇偶性和X(jω)的奇偶性之间的关系呢? 因为实际中的信号都是实信号, 虚信号是没有意义的, 而实信号又分奇、偶和非奇非偶. 傅里叶变换分析的频谱是双边谱, 实信号x(t)的傅里叶变换X(jω)实部为ω的偶函数, 虚部为ω的奇函数, 或者说幅度为ω的偶函数, 相位角为ω的奇函数. 由于这个性质, 当图示实信号的频谱(包括幅度谱和相位谱)图时, 只需要绘出正频率部分就可以了, 因为负频率部分和正频率部分有完全的相关性.
两个物理量之间用一定的算式联系起来, 那么, 一个量具有某种性质, 将导致另一个物理量具有对应的性质, 它们之间的对应关系具有一定的意义.例如, 连续周期奇函数的傅里叶级数只有正弦部sin(nt), 而没有余弦部分, 就没有必要费力计算cos(nt)的系数了, 计算得到简化. 同样地, 知道连续非周期信号x(t)的某些性质, 必然导致其傅里叶变换X(jω)也有一些对应的性质, 这样给画频谱图带来一些方便.
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