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本期推荐内蒙古师范大学张彩云博士、代钦教授的文章，此文引用格式：
张彩云，代钦.傅种孙几何作图思想探析——纪念傅种孙先生诞辰120周年[J].数学通报，2019(1)：1-7,40.
傅种孙(1898-1962)先生是我国20世纪著名的数学家与数学教育家，培养了多位著名数学家，学界对傅种孙先生的数学及数学教育研究工作充分认可与肯定。
此文简要回顾傅种孙先生的生平及主要贡献，重点探析傅种孙先生的几何作图思想，具体包括傅种孙几何作图研究成果简介(《初级混合数学》《高中平面几何》《几何基础研究》《作图漫谈》等著作)、个案赏析(知二边及一边之对角，求作三角形)、思想特点(强调对几何作图本质的认识，注重几何作图对数学逻辑思维能力的培养)。
傅种孙几何作图思想探析
——纪念傅种孙先生诞辰120周年
张彩云，代钦(内蒙古师范大学)
摘要：傅种孙是我国上世纪著名的数学家和数学教育家，毕生致力于我国数学和数学教育事业，被学界誉为数学教育的一代宗师和中国现代数学教育的先驱。他是将数理逻辑和西方数学基础研究引入中国的第一个数学家。他的数学教育思想和数学方法论是丰富而又博大精深的。他的《初级混合数学》、《高中平面几何》、《几何基础研究》、《作图漫谈》等著作中所蕴含的几何作图教育思想对今天的几何课程改革、中学数学教材编写和数学教师教育具有一定的启示和借鉴作用。
关键词：傅种孙；几何作图思想；初级混合数学；高中平面几何；几何基础研究；作图漫谈
1 傅种孙生平及主要贡献
傅种孙(1898-1962)，字仲嘉，于1898年2月27日出生于江西省高安县朱湖村，是我国上世纪著名的数学家和数学教育家。他从小读书聪慧刻苦、思维敏捷，在5个孩子中独受父亲傅元弼(清末秀才)重视，其父在病逝前曾留遗嘱：“不要使种孙辍学，他大可造就”。傅种孙在读中学时数学成绩已很突出，尤其酷爱几何，几何题做得多，老师几乎找不到题目给他练习了，在南昌二中时写的轨迹论文曾留校展览多年。1916年被北京高等师范学院(国立北平师范学校前身，以下简称北高师)数理部录取。在北高师一年级的立体几何课上曾反驳老师关于“斜圆柱的侧面展开是平行四边形”的讲解，当场用报纸制成一个斜圆柱侧面后，沿母线把纸展开并指着其波形边沿说：“请看，这能是平行四边形吗？”师生不禁佩服他的反应快和想得深。他是《数理杂志》主要创始人之一。他先后在该杂志上发表几何、代数等方面的论文和译文16篇。他的论文《大衍(求一术)》用近代数学研究中国古算的创举影响很大，中算史专家李俨先生曾说：“我看了傅先生的《大衍(求一术)》一文后，对中国古算发生了兴趣，决心把中国数学史整理出来。”[参见：傅章秀.热爱教育事业的数学家——傅种孙先生[J].数学通报，1991(6)：2.]1920年7月北高师毕业，被留其附中任教。于1922年在国内率先翻译出版了罗素(B·Russell，1872-1970)的《罗素算学哲理》(Introduction to Mathematical Philosophy)，又于1924年翻译出版了德国著名数学家D.希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)的名著《几何原理》(The Foundations of Geometry，今译《几何基础》)。抗战前兼任过北京大学、辅仁大学、北平大学女子文理学院教授；流亡时在陕西城固停留期间曾任西安临时大学、西北联合大学和西北大学教授；抗战胜利后，赴英国牛津大学、剑桥大学考察两年。1947年11月回国，任国立北平师范学校(今北京师范大学前身)教授，直至1962年1月18日去世，一直未脱离一线教学，有很多全国知名的学者都曾受教于他，如钱学森院士、段学复院士、闵嗣鹤、熊全淹、魏庚人、赵慈庚、金保赤、张元达、袁兆鼎等，并深受其影响。钱学森院士曾回忆说：“听傅老师(种孙)讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”[参见：祁淑英，魏根发.钱学森[M].石家庄：花山文艺出版社，1997：15.]在美国学习时，钱学森的导师冯·卡门(Von Karmann)曾称赞他的科学基础好，而他本人则认为得益于从傅种孙老师那里学会了严密的数学方法。还有，在段学复院士的传中说：“在傅种孙先生等的影响下，段学复对数学产生了浓厚的兴趣。”[参见：程民德等.中国现代数学家传(第二卷)[M].南京：江苏教育出版社，1995：228.]更有，熊全淹教授的传中说：“提到老师，熊全淹认为，他的业师中，影响他最大的有两位。一位是中学时的老师，傅种孙教授。他为人正直，刚正不阿，学问渊博，深受学生爱戴。熊全淹选学数学，与傅先生之关怀与诱导有很大关系。”[参见：程民德等.中国现代数学家传(第一卷)[M].南京：江苏教育出版社，1995：168.]傅种孙先生学术与经验了然于胸，讲授之中辄有深见，即使在抗战后方讲学的四五年间亦誉冠当时，成为西北地区的名教授。[参见：赵慈庚.傅种孙先生的教育思想[J].数学通报，1997(8)：1.]傅种孙先生是民国时期中国数学教育的领袖人物。[参见：张奠宙.中国数学教育拒绝实用主义——从徐光启、傅种孙到姜伯驹[J].教育科学研究，2014(12)：5-9.]被张英伯教授誉为中国数理逻辑与数学基础研究的先驱、我国现代数学教育的先驱和最出色的数学老师。[参见：张英伯.傅种孙——中国现代数学教育的先驱[J].数学通报，2008，47(1)：8-10.]他居高声远，影响很大，不愧为数学教育的一代宗师。[参见：王光明，杨世明，周学智.傅种孙关于“中学数学基础”的思想初探[J].数学通报，2003(3)：3-5.]傅种孙先生虽然未能像弗赖登塔尔那样写出数学教育专著，但是凝聚了他数学教育思想的著作如《初级混合数学》、《高中平面几何教科书》(1982年改称《平面几何教本》，以下简称《高中平面几何》)、《初等几何研究》(原名为《初等数学研究》)等都独具匠心、特色鲜明，在当时的教育界影响颇大。在1998年北京师范大学数学系纪念傅种孙先生诞辰100周年的座谈会上，主持人刘绍学教授在致辞中说：“中国的傅种孙，德国的F.Klein(1849-1925)，美国的G.Polya(1887-1985)，都同样得到我们的敬仰和热爱。”[参见：傅种孙.傅种孙教育文选[M].北京：人民教育出版社，2005：代序9-10.]可见学界对傅种孙数学和数学教育研究工作的认可和肯定。截止目前，从宏观研究的角度而言，对傅种孙先生教育思想研究的硕果累累，如：“教不严，师之惰”的为学生服务的原则，修业与进德并行的育人宗旨，“卖米卖糠说”所体现的唯物主义人才观，极度认真、严于律己、勇于任事、刚直不阿、忧国惜才的治学之道，修根固本、正源清流的远见卓识，等等，对我国数学教育的发展起到了积极的促进作用；但从微观研究角度的看，对他的几何作图思想至今没有深入的涉猎。几何作图是傅种孙先生初等数学研究工作中重要的一部分，他在几何作图方面有开创性的工作。在他的著作《初级混合数学》、《高中平面几何》和《几何基础研究》中都有作图的章节进行阐述。此外，还有一个《作图漫谈》的讲题，专门讲述几何作图。它们是傅种孙大部分知识和智慧的结晶，本文主要结合如上著作来阐述他的几何作图思想。
2 傅种孙的几何作图思想
傅种孙的几何作图思想是渗透在他的初等数学研究和教育工作中的，实实在在的有两件事：一是编写《初级混合数学》和《高中平面几何》教科书；二是开展中学数学研究，从理论上和教法上进行分量轻重和深浅程度的分析后结合国内教育实况写出若干专题，借师资培训之机，深入浅出地讲给教师听。《几何基础研究》和《作图漫谈》便是他讲题当中的主要内容和研究成果。傅种孙从高等数学的视角审视初等数学的基础重要性，将数学的“高观点”深入浅出得编入教材，有的介绍给学生，有的供教师和高材生研究参考，从而达到“以其昭昭，使人昭昭”的目的。[参见：杨之.傅种孙的数学教育思想(上)[J].中学数学教学参考，2000，(8)：4-6.]
2.1 傅种孙几何作图研究成果简介
《初级混合数学》是1923年在北京高师附中率先进行学制改革实验时为适应新学制下数学课程，由傅种孙和程廷熙编写的一套教科书(共6册，商务印书馆，1923-1926)。这套书的特点是内容丰富，理论严密，语言准确，例题生动，并且将算术、代数、几何、三角等知识混合编排进行联络教学，因此被当时很多学校选用。[参见：罗德建.傅种孙先生在北京师大附中[J].数学通报，2008，47(2)：11-20.]其中，除第四册外都有几何作图的相关内容。
傅种孙先生的著作《高中平面几何》给出了在中学阶段数学课的严格化处理的一种模式和范本，这本书直到今天还有价值。[参见：孙永生.纪念傅种孙先生[J].数学通报，1999，(4)：1.]《高中平面几何》于1933年初版，到1937年共印四版，每版都进行了修订。该书理论体系完备，语言严谨，在当时盛行全国。在基本训练方面也有独到之处，如书中很多题目一开始就给出与之相关的图形，有些题目甚至一题多图。图形的使用，在一定程度上帮助学生更好地理解问题，寻找解决问题的方法。[参见：陈婷，田丽娜，詹紫浪.傅种孙《高总平面几何讲义》之考察[J].数学教学研究，2012，31(8)：57.]全书共有七篇，第四篇专讲作图。
几何基础是傅先生用力最勤、宣讲最多的数学科目之一。[参见：王世强.怀念傅种孙先生改革数学教育的几点感想[J].数学通报，1998，(12)：2-4，24.]《几何基础研究》是傅种孙先生从教10多年，在了解了罗素和希尔伯特的数学工作后敏锐地洞见了它们的重要性和当时的数学趋势，在汲取精髓的基础上根据自己的教学、科研经验感知到许多中学教师不善于把高等数学的理论和中学教材结合起来，而他认为师范院校的学生需要在这方面有所引导，所以于1930年前后在北高师开设了初等数学研究的课程，为此编写的讲义。《几何基础研究》有四部分组成，它们是总论篇(P1-P36)、几何基础篇(P37-P128)、作图篇·上(P129-P262)和作图篇·下(P263-P293)，作图篇占了一半以上的篇幅。
《作图漫谈》[参见：傅种孙.傅种孙数学教育文选[M].北京：人民教育出版社，2005：147-155.]是傅种孙先生在1934-1944年间历次在北平师大(西北师院前身)、西北师院(今西北师范大学前身)和陕西省举办的中学理科教员暑期讲习会的讲稿之一，它的小标题为“工具和赋予它们的全能”。
傅种孙著作中几何作图的主要内容如表1所示：
表1 傅种孙著作中几何作图的主要内容
《初级混合数学》 | 《高中平面几何》 | 《几何基础研究》 | 《作图漫谈》 |
图形;作图法(作图器具、基本作图、作三角形法、作垂线法、平分线段法、作等角法、作平行线法、平分角法、作圆内接正多边形法、作复合图形法)；割补术、比例、相似形、三角形、圆等都涉及作图。 | 作图题与存在定理;作图器具及效能;作图之根据;作图之规范、驭作图题之方法(拼合法、造因法、三角形奠基法、迁移法、放大法、分析法与辅助线、代数分析法);正多边形作图;作图不能问题;轨迹与作图。 | 作图题与存在问题；作图之又一看法；欧几里得作图法；直尺圆规之基本作图法；驭作图之法(拼合法、造因法、三角形奠基法、迁移法、平移法、翻褶法、旋转法、放大法、轨迹交点法:23种、倒极法、代数分析法等);代表性几何作图问题之解法;规矩作图之根本意义;圆规直尺作图法之真谛;圆规直尺不可解之作图题。 | 直尺作图法；直尺及一、二无穷远点；直尺及迁线器(即Hilbert或Gauge作图法)；直尺及圆规(Euclid)作图法；直尺和一个有圆心的定圆(Poncelet-Steiner)作图法；直尺与铜圆；[铜圆是清末到抗日战争前国家的辅币，铜质，圆形，无孔.]圆规(Mascheroni-Adler)作图法；作图的理论基础及空间二元论；提到他未曾发表的几何空间二元论(可惜没有详述)。 |
傅种孙对几何作图研究的成果是他几何作图思想的具体呈现和集中反映。其有如下特点：(1)几何作图是数学基础中的必不可少的内容。无论是在他编写的中学教科书中，还是大学讲义中，甚至师资培训的教材中，都有专门讲解几何作图的章节；(2)几何作图的主要内容集中于作图题与存在问题、作图方法、作图工具、正多边形作图和尺规作图不能问题；(3)随着接受对象的不同，其著作中所涉及几何作图的理论深浅亦不同。从初中—高中—大学—师资培训，作图也从基本作图—正多边形作图—尺规作图不能问题—探讨作图理论；(4)对于作图方法，主要介绍了8种：如拼合法、造因法、三角形奠基法、迁移法、放大法、分析法与辅助线、代数分析法、轨迹交点法。并强调了造因法是其中最重要的方法；(5)对于作图工具，谈到了尺规作图、直尺作图、直尺及一、二无穷远点作图、直尺及迁线器作图、直尺和一个有圆心的定圆作图、直尺与铜圆作图、圆规作图；(6)对于正多边形的作图和尺规作图不能问题有专门的、且深入的理论分析，用代数方法进行了能否作图的一些代数性质充分条件的讨论，正是这些知识的引导学习者对几何作图产生本质的认识和启发，激发学习者更深的思考和探索。
2.2 傅种孙几何作图个案赏析
傅种孙在《高中平面几何》的自序中说“几何之务，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”[参见：傅种孙.高中平面几何教科书(序)[M]北京：算学丛刻社，1933.]傅种孙对几何作图问题的研究就充分证明了这一点。从几何作图与存在问题之间的关系、作图方法、作图工具、正多边形作图、作图不能问题，一步步阐述了几何作图的本质，几何作图的根据、限制及能否作图的条件，并更进一步地进行代数方法的解析和证明。也许，只有这样才算达到他所追求的“几何之务”，不仅能做出符合某种条件的几何图形，还要知道它的作图根据是什么，更要明白为什么会有如此限制，最终领会作图的内涵。
对于作图题与存在问题之间的关系，傅种孙认为几何作图是证实某种图形存在与否的一种方法，如果符合某个条件的图形可以作出，则证明该存在定理为真，即作图题就是研究某种图形是否存在的问题。如“两点决定一条直线”本来是存在定理，而通常用来证明“该直线存在”的却是通过作出此图形(直线)。作图题分“有解”、“无解”和“不能解”。“有解”则断定所求作的图形存在；“无解”则断定所求作的图形不存在；“不能解”既不能断定所求作图形存在也不能断定它不存在。
对于作图工具及其效能，傅种孙明确指出：初等几何只讲直线和圆。因此，它所采用的作图工具也只限于直尺和圆规两种。直尺，既直又长。圆规，腿长而且开闭灵活。它们有定线、作圆、求交点三种功能。即给出两点，可以用直尺作出直线(见图1)；给出任意点为圆心，任意长为半径，可以用圆规画出圆(见图2)；对于应该相交的两直线、两圆或一直线和一圆，就可用直尺和圆规确定它们的交点(见图3、4、5)。一道作图题是否能尺规作图解答，判断的依据则是其能否通过有限次的以上五种基本作图解决。另外，在《作图漫谈》中，他如是说：“工艺制造，土木建筑，各有工具。工具各有功能。工事的精粗，往往因所用工具而不同。成果的多少，又因我们赋予工具的权能大小而不同。几何作图也是这样；成就的范围如何，由所选的工具和赋予它们的权能来定。”在该篇中，他特别介绍了直尺作图法、直尺及一、二无穷远点作图法、直尺及迁线器作图法、直尺圆规作图法、直尺和一个有圆心的定圆作图法、直尺与铜圆作图法、圆规作图法。当然这些作图法都有各自所遵循的一套公理体系，如此一来，几何作图的成就的多少便取决于所选的作图工具和公理体系。
对于作图的根据，傅种孙指出有三种：第一种是存在公理，如截割公理、平行公理、迁线公理、交圆公理等；第二种是存在定理，常用的有六个。如一条直线和一个多边形，如果有一个公共点，只要它不是顶点，就一定还有第二个公共点；第三种是作图成法，以有解的情形而论，给出了如下十种：1、以一条定线段作为一边，作一个角使它符合于一个已知角；2、已知三边(任何两边的和都大于第三边)或两边和夹角或两角和一边(两角之和小于二直角)或两边和其中一边所对的角(角和两边有限制)，求作一三角形；3、过一定点作一直线垂直于一条定直线；4、过一定点作一直线平行于一定直线；5、平分一个角；6、平分一个弧；7、作线段的垂直平分线；8、把一个线段分为若干等份；9、作一三角形的内切圆、旁切圆和外接圆；10、作正方形、正三角形。就作图成法，傅种孙强调，在作图时没有成法不许动手亦如证定理时没有根据不能开口。
对于作图的规范，傅种孙认为作图题的解法应该按照五个步骤来叙述。第一步是设定，即罗列题中的设定件，一定要齐全；第二步是求作，即说明题中求作的图形，要连带说明它必须满足的全部条件；第三步是作法，即叙述作图的方法，其中是否添加辅助线等，动手的次序一定要记录详细明白；第四步是证明，即证明按照上述作法所得到的图形正是所求作图形。在“作法”的末尾有一句说“某图形就是求作的”，而这句话是否正确是需要证明的；第五步是推究，即按照设定件的多少、位置以及相互关系对作图题的有解、无解、能解、定解、不定解、一解、多解进行判定。如果能找到一个适用于设定件各种情形时的作法，应在“作法”中写出，至于因情形有别的细节，则放到“推究”去讨论；反之，按不同使用不同作法。
对于作图方法，傅种孙认为“驭作图题之方法”[参见：傅种孙.《几何基础研究》[M]北京：北京师范大学出版社，2001：143-204.]较浅易的有8种：拼合法、造因法、三角形奠基法、迁移法、放大法、轨迹交点法、反映法、代数分析法。此外，还有平移法、翻褶法、旋转法、倒极法、尝试法(二重点)。他还指出用拼合法时必须注意拼合时的先后次序；造因法是各法中最重的，分为两步：第一步，选出一条学过的定理，使它的题断与本作图题的求作相吻合。第二步，设法作图以实现该定理的题设，获得题断，达到求作的目的；旋转法在解作图题时有很多应用之处；轨迹交点法应用很广，但须将轨迹了然于胸；思考探究几何作图方法虽多，但往往顾此失彼，或者常用的则熟练生巧而不常用的则拙劣生疏，而应用比较广泛，并且最有准绳规矩可以遵循的，非代数分析法莫属。诸种作图法无论遵循哪种公理体系，但在正式作图前都必须进行“分析”。步骤是：1绘出草图，具备设定件和求作件；2添绘有重要关系的点、线等；3尽量考究图中各件之大小、位置及相互关系，逐渐推断并标识；4继续增添次要之辅助线，直至问题解决。此种分析中的添加的辅助线对于正确而快速地的解题尤其重要，适时的添加辅助线因题不同而不同，也取决于学习者的眼光。另外还应特别注意作图中交点的有、无、个数与作图题有解、无解和解的个数的关系。
以上诸种见解在傅种孙的著作中都有具体而又详细的论述。几何作图题有一个解并简单者少，而复杂需要推究者多，下面选取其著作中“作图规范”一节的例题如下，关于其几何作图工具及效能、作图根据、作图规范、作图方法、交点与解的个数关系、添加辅助线等思想可见一斑。
2.3 傅种孙几何作图思想的特点
(1)强调对几何作图本质的认识
傅种孙强调几何作图是存在问题的变形，其依据为存在问题所本公理体系，就性质而言，几何作图是几何事理的另一种表现形式，然其作图依据依然是几何事理。于是，他格外提醒学习者从概念上注意问题中所设的条件(包括所采用的公理体系及允许用的工具)，并要从认识上分清客观的可能性与人们主观能力大小的区别。他在《高中平面几何》和《几何基础研究》中明确指出：“作图题乃存在问题之变形。” [参见：傅种孙.高中平面几何教科书[M]北京：算学丛刻社，1933：153.] “而存在问题之解决，胥视全部公理以为准据。” [参见：傅种孙.几何基础研究[M]北京：北京师范大学出版社，2001：130-131.]即符合某种条件的图形是否存在，能否作出，决定于公理。他更生动的论述道：“Klein，数学泰斗也，授之以规矩不能为正七边形。Hilbert，几何巨臂也，挟其所谓迁线之器不能变矩形为正方。岂其才智之不如人，所本则不同耳”。[参见：傅种孙.几何基础研究(序2)[M]北京：北京师范大学出版社，2001：6.]对于非欧几何，他也谈到由于公理体系不同而出现的不同于欧氏几何的现象。每门科学的发展史就是人类对于这门科学的认识过程。傅种孙强调学生的几何学习亦不能过远地脱离这个认识过程，从欧氏几何诞生到当前的几何，这一步的飞跃不是十几岁的学生所能轻易接受的。而几何作图的各种变形可以灵活而直观的示以公理的条件和工具限制的不同层次。数学的本质是三种关系，一种是数和数的关系，也就是代数关系，然后是图形和图形的关系，就是几何关系，还有一种是随机的关系，一部分表现在统计中，一部分在概率里。[参见：史宁中.《平面几何》改造计划[J].数学通报，2007，46(6)：1-3.]几何作图是探讨“图形和图形关系”时必不可少的过程，而这也正是认识几何公理体系的过程。如几何学上的三大几何作图难题，在先辈们坚持不懈的探索中，清晰地认识了欧氏几何公理体系的全貌，领会了尺规作图的真谛，而且在突破作图限制的大胆尝试后有了新的发现和成果。傅种孙著述中的“正多边形作图”、“作图不能问题”、“规矩作图之根本意义”、“求作线段所能适合之方程”、“圆规直尺不可解之作图题”等内容都是从几何作图的依据出发，用代数解析法阐述了尺规作图的本质，以供学习者进入“何由以知其所以然”的境界。当然，对于几何作图问题的难易层次问题，傅种孙有着清晰的认识，对于几何作图的教学他有独到的见解。傅种孙所编写的初中、高中、大学及教师培训的几何教材中，几何作图不仅是必不可少的内容，且因为学段不同而有侧重。
(2)注重几何作图对数学逻辑思维能力的培养
就作用而言，几何作图在训练学生数学逻辑性和严密性方面很多时候大有裨益。在几何作图的过程中要经历一系列的、复杂的逻辑思维过程，如解答几何作图问题中的“分析”、“讨论”等过程，都是在学习者大脑中将几何事实具体化的同时学习几何事理，掌握几何知识，领悟几何精神，在潜移默化中培养和塑造学习者的数学逻辑性和严密性，进而探索更深的知识和人生哲理。正如前文钱学森院士所说：“听傅老师讲几何课，使我第一次懂得了什么是严谨科学。”而且钱学森院士本人也认为其科学基础得益于从傅老师那里学会了严密的数学方法。谈到数学的逻辑性和严密性，欧几里得的《几何原本》是世界公认的，这主要源于它演绎推理的方法和其奉为金科玉律的尺规作图。数学的逻辑性和严密性是统一的，简单说就是在概念、判断和推理的过程中把所有的可能性都考虑到并说明白。几何作图问题尤其能突出这一点，比如从分析题目的条件和结论，条件中包含哪些概念、定理和公理及它们之间的联系，如何在此基础上选择合理优化的策略达到目的，然后体会对结论进行证明的必要性，讨论如此作图的正确性和可能性。傅种孙逻辑造诣精深，很多著述都能给读者以思维方法的深刻启迪。[参见：王树铭.学习《平面几何教本》推进数学思维方法的教学——纪念傅种孙先生百年诞辰[J].数学通报，1998，(1)：7-10.]如在《作图漫谈》中提到傅种孙在几何课上看到学生拿铜圆代替圆规画圆，于是出了这样一个题目，让他们研究“一个铜圆代替圆规，能否做直尺与圆规所能作的一切工作？”不仅引起同学们极大的兴趣，让他们在研究中认清作图工具的条件限制，而且从中受到教育，养成严谨的数学习惯。当然，这不是他心血来潮，而是他对几何作图在培养学生严谨的逻辑思维能力的深刻认识和重视，让学生在潜移默化中受到教育。也正是如此，他面对Malfatti[即：求作三圆互切，且各切于一定三角形之二边.]问题，根据自己的经验发现前人的著作中解的个数为32个或36个，在数目上都不对，太小。于是在1936年的整个寒假夜以继日地写、画，在屋中四壁挂满了图，纸篓的废纸每天倒出三四筐，右手食指外侧因使用圆规磨出了老茧，终于得出了108个解，后又用整个暑假复查一遍无误后才写成论文《Malfatti问题之108解》，并在1936年8月的中国数学会上宣读过，这是傅种孙开创性的成果，也是他“几何追求”之下的必然结果。不难发现，几何作图已经成为傅种孙研究几何问题时的必要手段和一种习惯，这与他处理几何问题时内在的思维过程是密切相关的，几何作图的过程既是解题的过程亦是他研究几何问题时的思考和探索过程。
3 结语
傅种孙所著教材中编排的几何作图内容分量轻重、深浅程度都是他精心设计，既联系当时国外数学发展动态，又兼顾国内数学教育实况。每一个作图问题既具体又博大精深，在不同层次的教材中讲述亦深亦浅，尤其对于几何作图的真谛和意义的剖析，在代数分析法的解析之下，无论是学生还是教师通过学习和钻研这些内容有助于更清楚地掌握几何作图背后的几何公理，更直观地认识 “亦欲进学者于有无能否之辨，而不以画法技能自足耳”[参见：傅种孙.高中平面几何教科书(序)[M]北京：算学丛刻社，1933.]，减少学习者在“作图不能问题”上的徒劳。史宁中教授在他的《<平面几何>改造计划》中如是说：“平面几何的教育价值何在？我以为除了公认的几何证明外，就是培养几何直观能力了。”“几乎所有几何问题和证明都要借助图形。一个人如果能够借助图形来思考问题，便称这个人具有几何直观，这里所说的思考问题包括描述问题、探讨本质、启发思路、预测结果等等。”[参见：史宁中.《平面几何》改造计划[J].数学通报，2007，46(6)：1-3.]代钦教授在他的《作图是几何教育的根基》中谈到图有以下功能：其一是图将具体事物进行抽象化，将复杂的事物进行简单化，表示个别事物的普遍意义。其二是将抽象的思想事物进行形象化、直观化，帮助人们易于把握抽象思想。图在从具体到抽象、从抽象到具体之间起到桥梁作用，正如古希腊哲学家柏拉图所说那样数学是“把灵魂拖着离开变化世界进入实在世界的学问。”其三，作图过程也许点燃创造的火花，激起灵感，引出问题，从而推动数学的健康发展。古希腊的“几何作图不能问题”的提出就是一个明证。[参见：代钦.作图是几何教育的根基——兼论清末民国时期几何作图教科书的发展[J].数学通报，2017，56(10)：1-7.]几何问题虽属千差万别，但要按性质来区分，不外证明题和作图题两大类。给出图形，证明它适合某种条件，这是证明题；给出条件，求作一图使适合某种条件，这是作图题。作图之后，照例应有证明，证明题中也少不了作图。这两件事是互相联系，互相启发，原无先后之分的。[参见：王联芳.关于几何作图的几点意见[J].数学通报，1963(7)：14.]几何作图可以说贯穿和存在于一切初等几何问题之中。
就今天的数学课标和教科书来看，其中与几何作图相关的要求和内容都不同往昔，在数学课堂上也有几何画板等软件可以方便快捷地作图，但有句老话说得好，“眼过千边不如手过一遍”。只有教师和学生亲自作图，在一条线、一个圆以及相切、相交等过程中潜移默化地理解每一个动作的意义，才更有利于切身体会构图的每一步操作所遵循的条件限制，揣摩其包含的几何性质，理解尺规作图的真谛，在此基础上可借助几何画板等软件，在作图需要突破常规条件的限制时发挥其尺规不能作图的优势，探讨几何作图的多种可能，提升其几何学习能力，提高几何学业水平。而中学数学教师对几何作图全面而深刻的认识和掌握亦有助于分析教材、把握重点和难点、利用几何作图的直观性选取灵活多样的教学方法，提高几何教学的水平。面对长久以来一直存在的关于平面几何的争论，如平面几何教学中弱化逻辑推理、为了减负过渡地删减繁难破坏了几何完整的体系，等等。从数学史和数学教育史的角度，是否可以从傅种孙的几何作图思想得到一些启发，为今天的数学教育改革，教材编写和中学数学教师教学提供一些几何教育方面的借鉴和启示，值得进一步探讨。
参考文献：
[1] 傅种孙.高中平面几何教科书[M].北京：算学丛刻社，1933.
[2] 傅种孙.平面几何教本[M].北京：北京师范大学出版社，1982.
[3] 程廷熙，傅种孙.初级混合数学(共6册)[M].上海：中华书局，1926.
[4] 傅种孙.几何基础研究[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[5] 傅种孙.傅种孙数学教育文选[M].北京：人民教育出版社，2005.
[6] 王世强.傅种孙与现代数学[M].北京：北京师范大学出版社，2001.
[7] 罗德建.傅种孙先生在北京师大附中[J].数学通报，2008，47(2)：11-20.
[8] 齐东旭.画图的教学[M].北京：科学出版社，2009.
[9] 苏日娜，代钦.民国时期的《初级混合数学》教科书[J].内蒙古师范大学学报(教育科学版)2013，26(8)：111-115.
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