【中考数学课堂】第96课

探究与应用．试完成下列问题：

（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP²+BQ²=PQ²；

（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ=90°，试探索上述结论AP²+BQ²=PQ²是否仍成立；

（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．

考点分析：

圆的综合题．

题干分析：

（1）证△APO≌△COQ，求出AP=CQ，同理求出BQ=CP，根据勾股定理求出即可；

（2）延长QO到D，使OD=OQ，连接AD，PD，求出PD=PQ，证△AOD≌△BOQ，推出AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP²+AD²=PD²，即可得出答案；

（3）连接PO、OQ，则∠POQ=90°，根据勾股定理得出AP²+BQ²=PQ²，设PC=a，CQ=b，推出（6﹣a）²+（8﹣b）²=a²+b²，求出b=﹣3/4a+25/4，代入S_△PCQ=1/2ab求出即可．

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