【中考数学课堂】第323课

如图，在矩形ABCD中，E在BA延长线上，连接DE，F在DE上，连接AF、FC，且BE=BD．

（1）如果AB=4，∠ADB=30°，求DE的长；

（2）如果EF=AF，求证：AF⊥CF．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°，

∵∠ADB=30°，AB=4，

∴DB=2AB=8，∠DBA=60°，

∵BE=BD，

∴△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=8；

（2）连接BF．

∵矩形ABCD，∠DAE=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠1+∠4=90°，

又∵EF=FA，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠4，

∴DF=FA，

∵∠ADC=∠EAD=90°，

∴∠FDC=∠FAB

∵矩形ABCD中，AB=CD，

考点分析：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．

题干分析：

（1）首先由含30°锐角的直角三角形的性质可求出BD的长，再证明三角形△BDE是等边三角形，进而可得DE=BD=8；

（2）连接BF，利用矩形的性质和已知条件可证明△FDC≌△FAB，所以∠5=∠7，再证明∠7+∠6=90°，继而可得：AF⊥CF．

解题反思：

该题以矩形为载体，以全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质、直角三角形斜边上的中线等几何知识来分析、判断、解答．