【中考数学课堂】第636课

如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．

发现：△CMP和△BPA是否相似，若相似给出证明，若不相似说明理由；

思考：线段AM是否存在最小值？若存在求出这个最小值，若不存在，说明理由；

探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的值是多少？

考点分析：

相似形综合题．

题干分析：

发现：先证明∠MPA=90°，然后依据同角的余角相等可证明∠CPM=∠PAB，结合条件∠C=∠B=90°，可证明量三角形相似；

思考：设PB=x，则CP=4﹣x，依据相似三角形的性质可得到CM=x（4﹣x）/4，作MG⊥AB于G，依据勾股定理可得到AM，则AG最小值时，AM最小，然后由AG=AB﹣BG=AB﹣CM得到AG与x的函数关系，依据二次函数的性质可求得当x=2时，AG最小值=3；

探究：

依据全等三角形的性质和翻折的性质可得到∠PAB=∠DAN=∠EAP=∠EAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z．然后可证明△BPK为等腰直角三角形，故此得到PB=BK=z，AK=PK，最后依据AK+BK=4列出关于z的方程求解即可．