【中考数学课堂】第851课：四边形有关的综合题

典型例题分析1：

如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．

（1）如图①：求证∠AFD=∠EBC；

（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；

（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）

考点分析：

四边形综合题．

题干分析：

（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数；

（3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出①当F在AB延长线上时，以及②当F在线段AB上时，分别求出即可．

解题反思：

此题主要考查了四边形综合题，解题时，涉及到了菱形的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

典型例题分析2：

请阅读下列材料：

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=√3，PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为√7，问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=√5，BP=√2，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长。

考点分析：

旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．

题干分析：

（1）参照题目给出的解题思路，可将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，根据旋转的性质知：

△BPC≌△BP′A，进而可判断出△BPP′是等腰直角三角形，可得∠BP′P=45°；然后根据AP′、PP′、PA的长，利用勾股定理得到△APP′是直角三角形的结论，可得∠AP′P=90°，即可求得∠BP′A的度数，进而可得∠BPC的度数．

（2）过B作AP′的垂线，交AP′的延长线于E，易知△BEP′是等腰直角三角形，即可得到P′E、BE的长，进而可在Rt△ABE中，利用勾股定理求得正方形的边长．

解题反思：

此题主要考查了正方形的性质、图形的旋转变换、勾股定理以及全等三角形等知识的综合应用，由于题目给出了解题的思路使得此题的难度降低，但是题中辅助线的作法应该牢记．