2022宁波中考压轴，圆与三角形综合，学生表示难出天迹！

宁波中考数学24题

定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角相邻的外角平分线相交所形成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望解.

(1) 如图1，∠E是

ABC中∠A的遥望角，假设∠A=，请用含的代数式表示∠E.

(2) 如图2，四边形ABCD内接于O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E，求证：∠BEC是

ABC中∠BAC的遥望角.

(3) 如图3，在(2)的条件下，连结AE、AF，假设AC是O的直径.

①求∠AED的度数；

②假设AB=8，CD=5，求

DEF的面积.

解：(1)∠E=

(2) 由圆内接四边形的性质可知：∠ECG=∠BAD，而BD=AD，故∠BAD=∠ACD，故∠ACD=∠ECG；同时∠FDE=∠CAF=∠CBF，∠ADF=∠ABF；而DF平分∠ADE，故∠ADF=∠FDE，所以∠ABF=∠CBF；故∠BEC为ABC中∠BAC的遥望角.

点评：题目以三角形的旁心为考查出发点，考查同学们对角度关系的处理，全等和相似、圆的性质，知识覆盖面非常广；可谓立足于课本，远高于课本，不失为一道极好的中考题；

(2) ①由遥望角的特点易知∠BEC=BAC，∠BEA=∠ACB，∠BAC+∠ACB=90°，故∠AED=∠AEB+∠BEC=45°；

点评：压轴一问，难出天迹.别看参考答案容易看懂，但是真正自己做时，你会发现辅助线本身比较难想；再者，题目中的角度关系和相似三角形非常之多，而要选择能够解决问题的方法，明显有巨大难度；

综述：当然，若同学们平时扩展到位，那题目将变得非常简单.此题还有一个比较普遍的结论：F为

ACE的外心.