线段最值的三种类型综合探究，确实考验功底，没有一定实力真的做不出来

问题提出

(1) 如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则EF的最小值为_____

问题探究

(2)如图②，在△ABC中，∠A=45°，AB=4，AC=3

，点D是BC边上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，⊙O是四边形AEDF的外接圆，求⊙O直径的最小值.

问题解决

(3)某小区内有一块形状为四边形的空地，如图③所示，在四边形ABCD中，AD||BC且∠C=90°，∠B=60°，AD=200

米，AB=400

米，点E在CD上且CE=2DE，F、G分别是边AB、BC上的两个动点，且∠FEG=60°.为了改善人居环境，小区物业准备在尽可能大的四边形BFEG区域内种植花卉，请问这个四边形BFEG区域的面积是否存在最大值？求出面积的最大值；若不存在，请说明理由.

解：(1)连接AD，易知AEDF为矩形，AD=EF，当AD⊥BC时，AD可取最小值EFmin=

(1) 过点C作CG⊥AB于点G，易知AG=CG=3，BG=1，得BC=

，连接AD，易知AD即为AEDF外接圆的直径，当AD⊥BC时，AD取最小值，ADmin=

(1) 作AH⊥BC可得BH=200

，AH=600，DE=200，DC=400，AD=400，∠DAE=30°，∠AED=60°，∠EAF=90°；在BC延长线上取一点M使CM=AF，易知△AEF≌△CEM，∠CEM=∠AEF，得∠GEM=60°，

当由EC=400，∠GEM=60°，GM的最小值为

m此时△GEM面积取最小值易

，故BFGM面积取最大值

点评：题目以线段最值的3种形式进行探究，第1问题难度不大，而第二问则考查圆心的确定，难度常规；而第3问的则需要作辅助线，将问题进行转化，难度较大.

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