2023福田区中考模拟压轴详细解析，再次说明一题多解的重要性

【问题初探】

(1) 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为AB边一点，以BD为腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°，连接CD、CE，点F为CD的中点，连接AF，猜想并证明线段AF与CE的数量关系和位置关系. 

【深入探究】

(2) 在(1)的条件下，如图2，将等腰Rt△BDE绕点B旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【拓展迁移】

(3) 如图3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠BDE=

∠BAC，连接CD、CE，点F为CD的中点，连接AF，Rt△BDE绕点B旋转过程中，①线段AF与CE的数量关系为______; ②若BC=4

，BD=2

，当点F在等腰△ABC内部且∠BCF度数最大时，线段AF的长度为______

解：(1)方法一：易知△BCD≌△BCE，得CD=CE，∠BCD=∠BCE，设∠FAC=ɑ，则∠ACF=ɑ，∠BCD=∠BCE=45°-ɑ，得∠FAC+∠ACG=90°，故AF⊥CE; 而F为CD的中点，AF=

CD,而CE=CD，故AF=

CE

方法二：取BC的中点G，连接AG、FG，易知GF=

BD，而BE=BD，故GF=

BE；AG=

BC

∠FGC=∠DBC，故∠AGF=∠CBE得△AGF~△CBE，AF=

CE；同时∠GAF=∠BCE，∠GAF+∠CAF+∠ACG=90°，得∠FAC+∠ACG+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法三：作CG⊥BE于点G得△CAD≌△CGE；

方法四：设BC与DE的交点为G，连接AG、FG，易得△ABG~△CBE

点评：此题难度不大，但是第一问的解法直接影响第二问的解答；类比探究的方法基本相同，而第一问的解法若在第二问中无法解答，明显第二问就成为拦路虎了，一题多解显得非常重要了.

(2)方法一(相似)：取BC的中点G,连接AG、FG，AG=

BC；而GF=

BD，而BD=BE得GF=

BE，∠CGF=∠CBD得∠AGF=∠CBE；故△AGF~△CBE故AF=

CE；同时∠GAF=∠BCE；∠GAF+∠CAF+∠ACG=90°，得∠FAC+∠ACG+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法二(相似)：取DE的中点G，连接AG、BG、FG，易知GF=

EC，而BC：AB=BE：BG=

；∠ABC=∠GBE=45°，故∠ABG=∠CBE，故ABG~CBE得∠AGB=∠BEC，EC=

AG，故AG=

GF；同时∠AGF=∠DGF-∠AGD=∠DEC-∠AGD=∠BEC-45°-∠AGD=∠BGA-45°-∠AGD=90°+∠AGD-45°-∠AGD=45°，即∠AGF=45°，故AGF为等腰直角三角形(此处结论还需更详细的说明)，AF=GF，故AF=

EC；同时∠HAF=∠BCE；∠HAF+∠CAF+∠ACH=90°，得∠FAC+∠ACH+∠BCE=90°，即AF⊥CE；

方法三(全等)：延长CA至G，使AG=AC，连接BG、DG，易知△BCG为等腰直角三角形，△BDG≌△BEC，得DG=EC，AG=

DG，故AF=

EC；同理可证AF⊥CE

点评：此问的突破点还在于中点相关的辅助线，一般能联想到的是找特殊图形的中点，例如等腰三角形的中点；或者构造中位线；

(3)AF=

EC，有以下三种方法可解答；具体解答步骤，同学们可参考第(2)问；

②易知点D在以B为圆心，2

为半径的圆上，当CD与圆相切时，BCF张角最大；此时CD=14，作EH⊥CD于点H，CH=8，EH=2

得CE=2

，故AF=

点评：此问的难度在于角度何时取最大值，若能联想到点D的轨迹，那么由图形即可知相切时取最大值.

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