【问题初探】
(1) 如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,点D为AB边一点,以BD为腰向下作等腰Rt△BDE,∠DBE=90°,连接CD、CE,点F为CD的中点,连接AF,猜想并证明线段AF与CE的数量关系和位置关系.
【深入探究】
(2) 在(1)的条件下,如图2,将等腰Rt△BDE绕点B旋转,上述结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【拓展迁移】
(3) 如图3,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,在Rt△BDE中,∠DBE=90°,∠BDE=
解:(1)方法一:易知△BCD≌△BCE,得CD=CE,∠BCD=∠BCE,设∠FAC=ɑ,则∠ACF=ɑ,∠BCD=∠BCE=45°-ɑ,得∠FAC+∠ACG=90°,故AF⊥CE; 而F为CD的中点,AF=
方法二:取BC的中点G,连接AG、FG,易知GF=
∠FGC=∠DBC,故∠AGF=∠CBE得△AGF~△CBE,AF=
方法三:作CG⊥BE于点G得△CAD≌△CGE;
方法四:设BC与DE的交点为G,连接AG、FG,易得△ABG~△CBE
点评:此题难度不大,但是第一问的解法直接影响第二问的解答;类比探究的方法基本相同,而第一问的解法若在第二问中无法解答,明显第二问就成为拦路虎了,一题多解显得非常重要了.
(2)方法一(相似):取BC的中点G,连接AG、FG,AG=
方法二(相似):取DE的中点G,连接AG、BG、FG,易知GF=
方法三(全等):延长CA至G,使AG=AC,连接BG、DG,易知△BCG为等腰直角三角形,△BDG≌△BEC,得DG=EC,AG=
点评:此问的突破点还在于中点相关的辅助线,一般能联想到的是找特殊图形的中点,例如等腰三角形的中点;或者构造中位线;
(3)AF=
②易知点D在以B为圆心,2
点评:此问的难度在于角度何时取最大值,若能联想到点D的轨迹,那么由图形即可知相切时取最大值.
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