重庆八中模拟压轴，太烧脑了，辅助线太难想！

如图，D、E是△ABC内的两点，∠BAC=90°，AB=AC，∠ADC=135°

(1) 如图1，若AE⊥CE，D为CE的中点，求证：BE=AD；

(2) 如图2，若∠BAE=∠CAD，∠AEC+∠ADB=180°，求证：AD+AE=

CD

(3) 如图3，若∠BAE=∠CAD，CD=2AE，AB=6

，当线段BE长度最小时，求△ACD的面积.

解：(1)D为EC的中点，故CD=DE，而∠ADC=130°，故∠ADE=∠DAE=45°，而AE⊥EC得AE=DE故AE=CD；同时∠BAE+∠CAD=45°，∠CAD+∠ACD=45°，故∠BAE=∠ACD，又AB=AC，故△ABE≌△CAD，得BE=AD

 

(2)方法一：作BH⊥AE于点H，作CF⊥CD交AD延长线于点F，作CG⊥AF于点G，同时BJ⊥AF，CI⊥AH，易证△ABH≌△ACG，△ABD≌△CAG，△CEI≌△BDJ，故AI=AJ，AJ=CG；故AD+AE=AJ-DJ+AI+EI=2AJ=2CG=

CD，故AD+AE=

CD

 

方法二：在AF上取一点H使JH=AJ，易知DH=AJ=AE，故△ACE≌△HBD，得DH=AE，AH=2AJ=2CG=

CD，故AD+AE=

CD

 

方法三：引△ABC的外接圆，延长AD交圆于点F，过点B作GB⊥AB交于点G,易知ABGC为正方形，CA=CG，同时∠AFC=45°，故△CDF为等腰直角三角形，CD=CF，而∠ACG=∠DCF=90°，得∠ACD=∠FCG，故△ACD≌△GCF；GF=AD，在AF上取点H使FH=GF，连接BH，易知∠GFH=90°，而∠AFB=45°得∠BFG=45°，得△BFG≌△BFH，BG=BH，故BH=AC，同时∠AEC=∠BDH；同时易知∠CAE=∠BAD=90°-ɑ得∠BGF=90°+ɑ，故∠BHD=90°-ɑ，即有∠BHD=∠CAE，故△BDH≌△CEA，DH=AE，AD+AE=DH+HF=DF=

CD，故AD+AE=

CD

(3)第三问仅作参考，难度较大，且不知道正误，欢迎大家指正.