中职数学（基础模块）上册各章节重难点汇总

第一章  集合

1.1.1  集合的概念

【目标】

1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质。

2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法。

3. 发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识。

【重点】集合的基本概念，元素与集合的关系。

【难点】正确理解集合的概念。

【方法】通过创设情景，独立地去发现、分析、归纳，形成概念。

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学”．

师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象．引入课题．

联系实际；

激发兴趣．

新

课

新

课

展示引例：

(1) 某学校数控班学生的全体；

(2) 正数的全体；

(3) 平行四边形的全体；

(4) 数轴上所有点的坐标的全体．

1. 集合的概念．

(1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)．

(2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素．

(3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a，b，c，… 表示．

2. 元素与集合的关系．

(1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a属于A，记作aÎA，读作“a属于A”．

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a Ï A．读作“a不属于A”．

3. 集合中元素的特性．

(1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的．这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合．

(2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象．

4. 集合的分类．

(1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集．

(2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集．

5. 常用数集及其记法．

(1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N；

(2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N＋或 N*；

(3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z；

(4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q；

(5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R．

例1  判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．

(1) 小于 10 的自然数的全体；

(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生；

(3) 英文的 26 个大写字母；

(4) 非常接近 1 的实数．

练习1  判断下列语句是否正确：

(1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；

(2) 所有三角形构成的集合是无限集；

(3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集；

(4) 如果a Î Q，b Î Q，则 a＋b Î Q．

例2 用符号“Δ或“Ï”填空：

(1) 1  N，0  N，－4  N，0.3  N；

(2) 1  Z，0  Z，－4  Z，0.3  Z；

(3) 1  Q，0  Q，－4  Q，0.3  Q；

(4) 1  R，0  R，－4  R，0.3  R．

练习2 用符号“Δ或“Ï”填空：

(1) －3    N；(2) 3.14    Q；

(3)     Z；  (4) －    R；

(5)     R； (6) 0    Z．

师：每个例子中的“全体”是由哪些对象构成的？这些对象是否确定？

你能举出类似的几个例子吗？

学生回答．

教师引导学生阅读教材，提出问题如下：

(1) 集合、元素的概念是如何定义的？

(2) 集合与元素之间的关系为何？是用什么符号表示的？

(3) 集合中元素的特性是什么？

(4) 集合的分类有哪些？

(5) 常用数集如何表示？

强调要注意的问题．

教师要把集合与元素的定义分析透彻．

请同学举出一些集合的例子，并说出所举例子中的元素．

教师强调：“Δ的开口方向，不能把aÎA颠倒过来写．

教师强调集合元素的确定性．师：高一(1)班高个子同学的全体能否构成集合？

生：不能构成集合．这是由于没有规定多高才算是高个子，因而“高个子同学”不能确定．

教师强调：相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．

请学生试举有限集和无限集的例子．

师：说出自然数集与非负整数集的关系．

生：自然数集与非负整数集是相同的．

师：也就是说，自然数集包括数0．

师：出示例题，引导学生讨论、思考．

生：讨论，回答，明确说出理由．

生：模仿练习；讨论并口答．师：点拨、解答学生疑难．

师：出示例题，请学生填写．

生：口答各题结果．

师：引导学生进行订正，并说明错误原因．

学生模仿练习；

老师订正、点拨

从具体事例直观感知集合，为给出集合的定义做好准备．

老师提出问题，放手让学生自学，培养自学能力，提高学生的学习能力．

检查自学、梳理知识阶段，穿插讲解

解难点、强调重点、举例说明疑点等环节，使学生真正掌握所学知识．

通过具体例子，师生的问答，巩固集合概念及其元素特性．

通过练习进一步强化学生对集合中元素特性的理解．

通过例题2和练习2，加深对特殊数集的理解以及元素与集合关系的理解与表示，既突出重点又分解难点．

小

结

1. 集合的有关概念：集合、元素．

2. 元素与集合的关系：属于、不属于．

3. 集合中元素的特性．

4. 集合的分类：有限集、无限集．

5. 常用数集的定义及记法．

畅谈收获，导梳总结知识点．

梳理总结，针对薄弱或易错处强调总结．

1.1.2  集合的表示方法

【目标】

1. 掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．

2. 发展运用数学语言的能力；培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力．

3. 感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养合作精神．

【重点】集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.

【难点】集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.

【方法】通过列举例子，引导讨论和交流，并通过创设情境，自主探索一些常见集合的特征性质．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1. 集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？

2. 用符号“Δ与“Ï”填空白：

(1) 0    N；

(2) －     Q；

(3)－     R．

师：刚才复习了集合的有关概念，这节课我们一起研究如何将集合表示出来．

回顾旧知；

学习新知．

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1. 列举法．

当集合元素不多时，我们常常把集合的元素列举出来，写在大括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫列举法．

例如，由1，2，3，4，5，6这6个数组成的集合，可表示为：{1，2，3，4，5，6}．

又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．

有些集合元素较多，在不发生误解的情况下，可列几个元素为代表，其他元素用省略号表示．

如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，99}．

例1  用列举法表示下列集合：

(1) 所有大于3且小于10的奇数构成的集合；

(2) 方程 x2－5 x＋6＝0的解集．

解  (1) {5，7，9}；

(2) {2，3}．

练习1  用列举法表示下列集合：

(1) 大于3小于9的自然数全体；

(2) 绝对值等于1的实数全体；

(3) 一年中不满31天的月份全体；

(4) 大于3.5且小于12.8的整数的全体．

2. 性质描述法．

给定 x 的取值集合 I，如果属于集合 A 的任意元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有性质p(x)，则性质 p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合 A 可以用它的特征性质描述为 {xÎI | p(x)} ，它表示集合 A是由集合 I 中具有性质 p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做性质描述法．

使用特征性质描述法时要注意：

(1) 特征性质明确；

(2) 若元素范围为 R，“xÎR”可以省略不写．

例2  用性质描述法表示下列集合：

(1) 大于3的实数的全体构成的集合；

(2) 平行四边形的全体构成的集合；

(3) 平面 a 内到两定点 A，B 距离相等的点的全体构成的集合．

解  (1){ x | x >3}；

(2){ x | x 是两组对边分别平行的四边形}；

(3) l＝{ P Îa ，|PA|＝|PB|，A，B 为a 内两定点}．

练习2  用性质描述法表示下列集合：

(1) 目前你所在班级所有同学构成的集合；

(2) 正奇数的全体构成的集合；

(3) 绝对值等于3的实数的全体构成的集合；

(4) 不等式4 x－5<3的解构成的集合；

(5)所有的正方形构成的集合．

师：强调要注意的问题：

①注意区别 a 与 {a}．

a 是集合{a}的一个元素，而{a}表示一个集合．

例如，某个代表团只有一个人，这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的；

②用列举法表示集合时，不必考虑元素的前后顺序．

师：集合{1，2}与{2，1}表示同一个集合吗？

生：是．

多媒体展示例题1．

学生口答.

通过教师讲解、师生问答，详细说明什么是特征性质．

出示例子：正偶数构成的集合．它的每一个元素都具有性质“能被2整除且大于0”，而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，性质“能被2整除，且大于0”就是此集合的一个特征性质．

引导学生根据上面的描述总结集合的特征性质是什么？

师生共同归纳出性质描述法．

教师强调用特征性质描述法时应注意的两个要点．

讲解例题2，板书详细的解题过程．

师：(1) 一个集合的特征性质不是唯一的．如平行四边形全体也可表示为

{ x | x 是有一组对边平行且相等的四边形}．

(2) 在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合．

学生模仿练习．请学生在黑板上写下答案，引导全班学生统一订正．

老师点拨、解答学生疑难．

按集合元素不多和集合元素较多分类讲解，便于学生接受．

多举实例也有利于概念的理解．

通过一组简单的口答题，掌握集合的列举法．

通过例1和练习1，巩固列举法的使用．

对集合性质描述法的理解是难点，此处通过举例，由特殊到一般，便于学生突破这一思维障碍．

通过例2，让学生掌握由描述法表示集合的不同类型：有限集、无限集或代数、几何的表示方法，并使学生规范解题步骤．

通过练习，进一步突出重点，深化两种表示方法的灵活运用．

小

结

1.列举法．

2. 性质描述法．

3. 比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况．

分析总结：

1. 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法．如：集合{2}．

2. 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法．如：集合 {xÎQ|1≤x≤4}．

以学生为主体，关注学生对本节课的体验．

1.1.3  集合之间的关系(一)

【目标】

1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．

2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．

3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．

【重点】

子集、真子集的概念．

【难点】

集合间包含关系的正确表示．

【方法】

本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．

【过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

已知：M＝{－1，1}，N＝{－1，1，3}，P＝{ x | x2－1＝0}．问

1. 哪些集合表示方法是列举法？

2. 哪些集合表示方法是描述法？

3. 集合 M 中元素与集合 N 有何关系？集合 M 中元素与集合 P 有何关系？

师：出示三个集合，并根据这些集合提出一组问题．

生：思考并回答问题，

师：通过回答上面的问题，我们发现了：集合M与集合N；集合M与集合P通过元素建立了某种关系，本节课，我们就来研究有关两个集合之间关系的问题．

温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的基础上去探求新知识，使学生对出现的新概念不至于感到突然，符合学生的认识规律，很自然地引入本节课内容．

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课

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课

1. 子集定义．

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A Í B或B Ê A；读作 “A包含于B”，或“B包含A”．

2. 真子集定义．

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A是集合B的真子集．记作 A B(或B A)；读作 “A真包含于B”，或“B真包含A”．

3. Venn图表示．

集合B同它的真子集A之间的关系，可用Venn图表示如下．

4. 空集定义．

不含任何元素的集合叫空集．记作 Æ．如，{x| x2＜0}；{x | x＋1＝x＋2}，这两个集合都为空集．

5．性质．

(1) A Í A任何一个集合是它本身的子集．

(2) Æ Í A空集是任何集合的子集．

(3) 对于集合A，B，C，如果A Í B，B Í C，则AÍC．

(4) 对于集合A，B，C，如果AB，BC，则 AC．

例1  判断：集合A是否为集合B的子集，若是则在(   )打“√”，若不是则在(   )打“×”．

(1) A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5，6}        (    )

(2) A＝{1，3，5}，B＝{1，3，6，9}          (    )

(3) A＝{0}，B＝{ x | x2＋2＝0} (    )

(4) A＝{ a，b，c，d }， B＝{ d，b，c，a }           (    )

例2  (1) 写出集合 A＝{1，2}的所有子集及真子集．

(2) 写出集合 B＝{1，2，3}的所有子集及真子集．

解  (1)集合 A 的所有子集是Æ，{1}，{2}，{1，2}．

在上述子集中，除去集合A本身，即{1，2}，剩下的都是A的真子集．

(2) 集合B的所有子集是

Æ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．

在上述子集中，除去集合B本身，即{1，2，3}，剩下的都是B的真子集．

练习  写出集合A＝{a，b，c}的所有子集及真子集．

师：通过对引例中元素与集合关系的分析，得出子集的定义．

请学生举满足“A Í B”的实例．

在理解了“子集”定义的基础上，引导学生根据元素与集合的关系，试叙述“真子集”的定义．

老师总结，得出真子集的定义．

介绍用Venn图表示集合及集合间关系的方法．

请学生画图表示：A B．

请学生举空集的例子．

师：能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？

生：分组讨论，派代表发表各组看法．

解疑：不能．因为集合的子集也包括它本身，而这个子集是由它的全体元素组成的．空集是任一个集合的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．

师：出示题目，请学生思考、判断．

生：根据定义作出判断．

师：引导全班学生进行订正，加深对定义的理解．

生：尝试解答例题．

师：引导学生订正；请学生归纳“写出一个集合的所有子集”的步骤．

学生模仿练习，进一步理解子集及真子集的概念．

启发学生对引例进行深入分析、提炼，从而为概念的形成作好铺垫．

遵循从特殊到一般的认知规律，归纳出定义．

集合间包含关系的正确理解与表示是难点，通过让学生举例可以突破这一难点，增进学生对定义的理解．

渗透数形结合的数学思想，提高学生的数学能力．

通过置疑、解疑的过程，使学生深刻理解子集的概念．

通过分组讨论，关注学生的自主体验，分解了难点．

在学习定义之后紧跟上一组根据定义进行判断的题目，利于加深学生对定义的理解，巩固新知．

在板书的过程中，突出解题思路，体现解题步骤．

通过练习，进一步突出重点．

小

结

1. 子集．

2. 真子集．

在归纳、总结的基础上，梳理总结．

以学生为主体，培养学生的数学能力．

1.1.3  集合之间的关系(二)

【目标】

1. 理解两个集合相等概念．能判断两集合间的包含、相等关系．

2. 理解掌握元素与集合、集合与集合之间关系的区别．

3. 学习类比方法，渗透分类思想，提高学生思维能力，增强学生创新意识．

【重点】

1. 理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．

2. 元素与集合、集合与集合之间关系的区别．

【难点】

弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别．

【方法】

采用讲练结合、问题解决方法，初步经历使用最基本的集合语言表示有关数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力．引起强烈的求知欲望，使思考、发现、归纳等一系列的探究思维活动始终处于自主的状态中．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

展示下列集合：

(1) A＝{1，3}，B＝{1，3，5，6}；

(2) C＝{x | x 是长方形}，D＝{x | x是平行四边形}；

(3) P＝{x | x 是菱形}，Q＝{x | x 是正方形}；

(4) S＝{x | x＞3}，T＝{x | 3 x－6＞3}；

(5) E＝{x|(x＋1)(x＋2)＝0}，F＝{－1，－2}．

师提出问题：

1．第(1)，(2)，(3)题中两个集合的关系如何？

2．第(4)，(5)题中，第二个集合是不是第一个集合的子集？第一个集合是不是第二个集合的子集？

生：观察并回答问题．

师继续提出问题：第(4)，(5)题中，两个集合中的元素有什么特点？

复习旧知；引入新知．在引导学生思考、回答问题的过程中，顺利引出新课．

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如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等．记作 A＝B．读作 集合A等于集合B．如果A Í B，且B Í A，那么A＝B；反之，如果A＝B，那么AÍB，且B Í A．

例1  指出下面各组中集合之间的关系：

(1) A＝{x | x2－9＝0}，B＝{－3，3}；

(2) M＝{x | |x|＝1}，N＝{－1，1}．

解  (1) A＝B；(2) M＝N．

例2  判断以下各组集合之间的关系：

(1) A＝{2，4，5，7}，B＝{2，5}；

(2) P＝{x | x2＝1}，Q＝{－1，1}；

(3) C＝{x | x 是正奇数}，D＝{x | x是正整数}；

(4) M＝{x | x 是等腰直角三角形}，N＝{x | x 是有一个角是45°的直角三角形}．

解  (1) B A；(2) P＝Q；(3) C D；(4) M＝N．

练习1  用适当的符号(Î，Ï，＝，，)填空：

(1) a    {a，b，c}；

(2) {4，5，6}    {6，5，4}；

(3) {a}    {a，b，c}；

(4) {a， b，c }    { b，c}；

(5) Æ    {1，2，3}；

(6) {x | x是矩形}    {x | x是平行四边形}；

(7) 5    {5}；

(8) {2，4，6，8}    {2，8}．

例3 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．

解

练习2

集合U，S，T，F如图所示，下列关系中哪些是对的？哪些是错的？

(1) S U；(2) F T；(3) S T；(4) S F；

(5) S F；(6) F U．

师：可见，集合A＝B，是指A，B的所有元素完全相同．如，{1，－1}＝{－1，1}．

师：如果集合A＝B，根据子集的定义判断：AÍB成立吗？

生：讨论，得出结论．

学生容易得出：A＝B．

请学生在黑板上板书．

教师引导学生订正后，总结集合与集合的关系．

师：出示题目，请学生思考、试做．

生：分析、试做．

师：出示答案订正，请学生核对做题情况，改正错题并找出自己出错的原因．

生：交流做错的题目与出错的原因．

师：汇总、强调学生容易出错的问题，引起全班同学重视．

师：出示问题，请学生分组讨论，并画图．

生：将答案画到黑板上，全班同学讨论订正．

师：点评，给以赏识性评价．

首先学生分组讨论，最后各选一个代表回答本组讨论结果，其余同学补充．

最后教师公布答案，加以点评．

从具体实例直观感知集合相等．

有效设置问题，理解用子集的观点来理解集合相等．

及时巩固集合相等的定义．

放手让学生独立完成，培养自学能力，既提高学生的学习能力，又进一步巩固了集合之间的关系．

用符号表示元素与集合的关系、集合间关系是难点，通过学生试做、老师订正、学生反思、师生纠错多个环节，使学生兴趣盎然，在思考与争论中得到正确答案，学生之间交流，教师与学生之间的交流达到高潮，有效地突破难点．

通过例3和练习2，渗透数形结合思想，强化学生的画图、读图能力；培养学生用Venn图解决集合间关系问题的意识．

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结

1. 子集，真子集，集合相等．

2. 元素与集合、集合与集合的关系．

让学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

便于学生掌握本节课的知识，利于学生对知识进行反馈、记忆．

1.1.4 集合的运算(一)

【目标】

1. 理解交集与并集的概念与性质．

2. 掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集．

3. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生观察、归纳、分析的能力．

【重点】交集与并集的概念与运算．

【难点】交集和并集的概念、符号之间的区别与联系．

【方法】采用发现式教学法和自学法．运用现代化教学手段，通过创设情景，提出问题，引导学生自己独立地去发现问题、分析归纳、形成概念．并通过对比，自学相似概念，深化对概念的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

实例引入，以我校食堂每天买菜的品种构成的集合为例，引出集合运算的定义．

第一天买菜的品种构成的集合记为 A＝{黄瓜，冬瓜，鲫鱼，虾，茄子}；第二天买菜的品种构成的集合记为 B＝{黄瓜，猪肉，毛豆，芹菜，虾，土豆}．

师：提出问题：

1. 两天所买相同菜的品种构成的集合记为 C，则集合 C 等于什么？

2. 两天买过的所有菜的品种构成的集合记为 D，则集合 D 等于什么？

生：思考，感知集合运算．

联系实际，引出集合运算：问题中新得到的集合C，D是由已知集合的元素组成的．我们就把由已知集合，按照某种指定的法则，构造出一个新的集合，称为集合的运算．

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一、 集合的交集

1. 交集的定义．

给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有公共元素所构成的集合，叫做A，B的交集．记作 A ∩ B，读作 “A 交 B”．

2. 交集的Venn图表示．

3. 交集的性质．

(1) A ∩ B    B ∩ A；

(2) (A ∩ B) ∩ C   A ∩ (B ∩ C)；

(3) A ∩ A＝    ；

(4) A ∩ Æ＝Æ    A＝    ．

例1(1)  已知：A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，C＝{5，3}，则 A ∩ B＝            ；

B ∩ C＝            ；(A ∩ B)∩ C＝            ．

例2(1)  已知A＝{x | x 是奇数}，B＝{x | x 是偶数}，Z＝{x | x 是整数}，求 A ∩ Z，B ∩ Z，A ∩ B．

解  A ∩ Z＝{x | x 是奇数} ∩ {x | x是整数}＝{x | x 是奇数}＝A；

B ∩ Z＝{x | x 是偶数} ∩ {x | x是整数}＝{x | x 是偶数}＝B；

A ∩ B＝{x | x 是奇数} ∩ {x | x是偶数}＝Æ．

二、 集合的并集

1. 并集的定义．

给定两个集合A，B，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作 A ∪ B，读作 “A 并 B”．

2. 并集的Venn图表示．

3. 并集的性质．

(1) A ∪ B    B ∪ A；

(2) (A∪B)∪C   A∪(B∪C)；

(3) A ∪ A＝    ；

(4) A ∪ Æ＝Æ    A＝    ．

例1(2)  已知：A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，C＝{5，3}．

则 A ∪ B＝            ；B ∪ C＝            ；(A ∪ B)∪ C＝           ．

例2(2)  已知 A＝{x | x 是奇数}，B＝{x | x 是偶数}，Z＝{x | x 是整数}，求 A ∪ Z，B ∪ Z，A ∪ B．

解  A ∪ Z＝{x | x 是奇数} ∪{x | x 是整数}＝{x | x 是整数}＝Z；

B ∪ Z＝{x | x 是偶数} ∪ {x | x是整数}＝{x | x 是整数}＝Z；

A ∪ B＝{x | x 是奇数} ∪ {x | x是偶数}＝{x | x 是整数}＝Z．

三、 综合应用

例3  已知 C＝{x | x≥1}，D＝{x | x＜5}，求 C ∩ D，C∪D．

解  C ∩ D＝{x | x≥1} ∩ {x | x＜5}＝{x | 1≤x＜5}；

C∪D＝{x | x≥1}∪{x | x＜5}＝R．

练习1  已知 A＝{x | x是锐角三角形}，

B＝{x | x 是钝角三角形}．

求 A ∩ B，A ∪ B．

练习2  已知 A＝{x | x是平行四边形}，B＝{x | x 是菱形}，求 A ∩ B，A ∪ B．

练习3  已知 A＝{x | x 是菱形}，B＝{x | x 是矩形}，求 A ∩ B．

例4 已知 A＝{(x，y) | 4 x＋y＝6}，B＝{(x，y)| 3 x＋2 y＝7}，求 A ∩ B．

解  A ∩ B＝{(x，y)| 4 x＋y＝6} ∩ {(x，y)| 3 x＋2 y＝7}

＝{(x，y)|

＝{(1，2)}．

启发学生观察引入中的例子，并发现结论：集合 Ｃ 中的元素是集合A与B的公共元素，即集合C是由既属于A又属于B的元素构成的．

出示四组图片，请学生讨论：如何根据交运算的定义，用阴影表示出“A ∩ B”．

以填空的形式出示各条性质．

请学生根据交集的定义和上面的Venn图进行讨论，填写性质．

想一想，如果A Í B，那么A ∩ B＝    ．

师：出示例1(1)

生：口答．

师：出示例2(1)，引导学生弄清：

(1) 整数的分类；

(2) {x | x 是整数}，{x | x 是奇数}，{x | x 是偶数}各集合之间的关系．

生：试画出Venn图，并解答此题．

在引例中，集合D是集合A与B的什么运算？

师：出示自学提纲：

(1) 并集的定义是什么？其记法与读法如何？

(2) 如何用Venn图表示集合A与B的并集．

(3) 并集有哪些性质？

生：自学教材P14～15——集合的并，每四人为一组，讨论并回答自学提纲中提出的问题．

师：以提问的方式检查学生自学情况，订正学生回答的问题结果，并出示各知识点．

想一想：如果A Í B，那么A ∪ B＝   ．

给学生以赏识性评价．

师：出示例1(2)，例2(2)

生：口答．

师：请学生对比交、并运算定义的不同，强调定义中“公共元素”与“所有元素”的不同含义．

师：引导学生画图、讨论、解答，在黑板上写出各题答案．

师：订正答案，对学生出现的问题给以纠正、讲解．

例4教师首先引导学生分析得出：A ∩ B的元素是集合A与集合B中两方程所构成的方程组的解，然后板书详细的解题过程，并强调注意点集的表示方法．

引导学生感知、归纳、总结，形成概念．

通过画图，深化理解交集定义中“公共元素”的含意．

加强学生间的合作交流；

通过讨论，深化对交集定义的理解

通过一组简单的有限集求交集的口答题，使学生初步掌握交集的定义．

借助Venn图解答题目，数形结合深化对交集的理解．

通过类比，得出并集的定义，提高学生的自学能力．

通过学生自己画图，深化理解并集定义中“所有元素”的含意．

以学生填空和自己画图的方法，调动学生自己类比交集，并主动参与到教学中来．

通过一组简单的有限集求并集的口答题，使学生初步掌握并集的定义．

通过例1(1)，例2(1)与例1(2)，例2(2)的对比，帮助学生区别交集、并集的定义．

通过综合应用，使学生进一步掌握求交集、并集的方法，并与前面学过的知识结合，使学生对学过的集合有更新的认识．

在板书例4的过程中，使学生明确初中方程组的解的含义．

小

结

定义

记法

图示

性质

交集

并集

1. 学生读书、反思：

读教材P13～16，总结本节课收获．

2. 教师引导梳理，出示表格．学生填表，巩固所学内容．

通过对比，加深理解，强化记忆．梳理总结也可对学生薄弱或易错处强调总结.

1.1.4  集合的运算（二)

【目标】

1. 了解全集的意义；理解补集的概念，掌握补集的表示法；理解集合的补集的性质；会求一个集合在全集中的补集．

2. 发展学生运用数学语言进行表达、交流的能力；培养学生建立数形结合的思想，将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来；提高学生观察、比较、分析、概括的能力．

3. 鼓励学生主动参与“教”与“学”的整个过程，激发其求知欲望，增强其学习数学的兴趣与自信心．

【重点】补集的概念与运算．

【难点】全集的意义；数集的运算．

【方法】通过引入实例，进而分析实例，引导寻找、发现其一般结果，归纳其普遍规律．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1. 复习提问：集合的交运算与并运算．

2. 实例引入，以我校食堂每天买菜的品种构成的集合为例：计划购进的品种构成的集合记为 U＝{黄瓜，冬瓜，鲫鱼，虾，茄子，猪肉，毛豆，芹菜，土豆}；已经购进的品种构成的集合记为 A＝{黄瓜，鲫鱼，茄子，猪肉，芹菜，土豆}．

师：提问上节课知识，并引出新问题之后，引入课题．

生：感受到数学在生活中处处存在．

师：出示引例，提出问题：

问题1：集合A与集合U什么关系？

问题2：没有购进的品种构成的集合是什么？

温故而知新，便于引导学生在已有的基础上去探求新知识．

联系实际，使学生对将要学习的概念有感性认识，符合学生的认识规律．

新

课

新

课

新

课

一、全集

1. 定义：我们在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集．通常用字母U表示．

2. 特征：全集是一个相对的概念，是一个给定的集合，在研究不同问题时，全集也不一定相同．

我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集．

二、补集

1. 定义．

如果 A 是全集U的一个子集，由U中的所有不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在U 中的补集．记作

U A．读作 “A 在U中的补集”．

2. 补集的Venn图表示．

例1  已知：U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}．则

U A＝             ；

A ∩

U A＝            ；A ∪

U A＝            ．

解  {2，4，6}；Æ；U．

例2 已知 U＝{ x | x是实数}，Q＝{ x | x 是有理数}．则

UQ＝              ；

Q ∩

U Q＝              ；

Q ∪

U Q＝             ．

解  { x | x 是无理数}；Æ；U．

3. 补集的性质．

(1) A ∪

U A＝U ；

(2) A ∩

U A＝Æ ；

(3)

U(

U A)＝A ．

例3  已知全集U＝R，A＝{x | x＞5}，求

U A．

解  

U A＝{x | x≤5}．

练习 1

(1) 已知全集 U＝R，A＝{ x | x＜1}，求

U A．

(2) 已知全集 U＝R，A＝{ x | x≤1}，求

U A．

练习2  设 U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{5，2，1}，B＝{5，4，3，2}．求

U A；

U B；

U A ∩

U B；

U A ∪

U B．

练习3  已知全集 U＝R，A＝{x | -１< x < 1}．求

U A，

U A∩U，

U A∪U，A ∩

U A，A ∪

U A．

师：提出问题，请学生观察并回答；集合A与集合U之间关系怎样？

生：观察集合间的关系，得出；集合A是集合U的子集．

师：通过上例，介绍全集的定义与特征．

师：通过引导学生回答引例中的问题2“没有购进的品种构成的集合是什么？”，得出补集的定义和特征；介绍补集的记法和读法．

生：根据定义，试用阴影表示补集．

师：订正、讲解补集Venn图表示法.

生：对例1口答填空．

师：引导学生画出例2的Venn图，明确集合间关系，请学生观察并说出结果．

师：以填空的形式出示各条性质．

生：填写性质．

师：结合数轴讲解例3.

学生解答练习1，并总结解题规律．

学生做练习2、3，老师点拨、解答学生疑难．

从引例的集合关系中直观感知全集涵义．通过引导学生回答问题1，得出全集的定义和特征．

从引例的集合关系中直观感知补集涵义．

通过画图来理解补集定义，突破难点．

借助简单题目使学生初步理解补集定义．

例2中补充两问，为学生得出性质做铺垫．

结合具体例题和Venn图，使学生自己得出补集的各个性质，深化对补集概念的理解．

培养学生数形结合的数学意识．

通过练习加深学生对补集的理解．

小

结

补  集

定义

记法

图示

性质

1. 学生读书、反思，说出自己学习本节课的收获和存在问题．

2. 老师引导梳理，总结本节课的知识点，学生填表巩固.

让学生读书、反思，培养学生形成良好的学习习惯，提高学习能力．

1.2.1  充要条件

【目标】

1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．

2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．

3. 培养学生思维的严密性．

【重点】正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．

【难点】正确区分充分条件、必要条件．

【方法】采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

问题：判断命题“如果 x＝y，则x2＝y2”是否正确．

师生一起感受命题推理．

联系实际；

激发兴趣．

新

课

新

课

1．命题与推出．

在数学中，我们经常遇到“如果 p，则 q”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断．如果p真，证明q也为真，那么“如果p，则q”就是真命题．这时我们就说，由p可推出q．符号记作：p Þ q，读作：“p推出q”．

2．推出与充分、必要条件．p推出q，通常还可表述为p是q的充分条件；q是p的必要条件．这就是说，如果p，则q；(真)p Þ q；p是q的充分条件；q是p的必要条件．

这四句话表达的都是同一意义．

例1  (1)“如果 x＝y，则 x2＝y2”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？

(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？

解  (1)“如果 x＝y，则 x2＝y2”(真)这个命题还可表述为x＝y Þ x2＝y2；或x＝y 是 x2＝y2 的充分条件；或x2＝y2 是 x＝y 的必要条件．

(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为：在△ABC中，AB＝ACÞ∠B＝∠C；或在△ABC中，AB＝AC是∠B＝∠C 的充分条件；或在△ABC中，∠B＝∠C是AB＝AC 的必要条件．

练习1  教材P22 练习A组第1题．

练习2  教师写出四种等价说法中的一种，学生说出其他三种．

3．充要条件．

观察例1(2)“在△ABC中，如果 AB＝AC，则∠B＝∠C”．反过来，“在△ABC 中，如果 ∠B＝∠C，则 AB＝AC”这个命题是否正确？若正确，用刚学过的“推出符号”和充分、必要条件怎么叙述?

引出充要条件的概念．如果p是q的充分条件(p Þ q )，p又是q的必要条件(q Þ p )，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件．记作   p Û q．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

例如：两个三角形对应角相等是两个三角形相似的充要条件．

4.综合练习．

例2  用充分条件、必要条件或充要条件填空：

(1) x 是整数是 x 是有理数的   ；(2) x＝3 是 x2＝9的   ；

(3) 同位角相等是两直线平行的            ；(4) (x－2)(x－3)＝0是 x－2＝0的            ；

练习3  教材 P22，A组第2题．

例3  已知 p 是 q 充分条件，s是 r 必要条件，p 是 s 充要条件．求q与r的关系．

解  根据已知可得p Þ q，r Þ s，p Û s．

所以 r Þ s Û p Þ q．

所以 r Þ q．

即，r 是 q 的充分条件，q 是 r 的必要条件．

练习4  用充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件填空：

(1) a＝b 是 a c＝b c 的       ；

(2) 两个三角形全等是两个三角形相似的            ；

(3) 四边形的对角线相等是四边形是矩形的            ；

(4) a＋5是无理数是 a 是无理数的            ．

生：结合引例，阅读教材P21第1行到第15行，每四人为一组讨论：p推出q还有几种表达方式？

根据学生的回答，教师引导学生弄清几个关键词：推出，充分条件，必要条件；同时强调这四句话表达的都是同一意义．

师：板书例题，引导学生用四种不同的表述方法表述同一命题．

让各个学生参与到练习中来．

教师分析例1中的(2)，引导学生得出充要条件的定义．

生：比较例1中(1)和(2)的不同，得出充分条件、必要条件、充要条件的判断方法：仅看“前推后”是不够的，还要看“后推前”．

师：你能举出几个充要条件的例子吗？

师：引导学生总结解题思路，可简记为：

1. 前推后充分；

2. 后推前必要；

3. 互推充要．

练习3学生模仿练习．

师：出示例题．

生：讨论，理清各命题之间的关系．

师：总结学生发言，梳理解题思路，板书解题过程．

生：思考、讨论，说出练习4各题的结果．

师：引导学生订正答案，并说明原因，加深对各种条件的理解．

从实例直观感知概念．

培养学生自学能力和逻辑思维能力．

几种表达方式的理解是难点，通过观察、自学、类比、思考突破学生这一思维障碍．

通过例题1，熟练使用四种不同表达方式，加深对充分条件，必要条件的理解.

练习2使学生熟悉四种等价说法的相互转换，为例3做准备．

在分析例(2)，的基础上得出“充要条件”的概念，使学生明确充分条件，必要条件，充要条件的关系．

培养学生思维的严密性．

引导学生用刚学过的数学语言描述初中的等价命题，培养数学语言的应用意识．

在板书例2的过程中，突出解题思路与步骤．

通过例3，将不同表达方式的转化运用到判定中，加深充分条件，必要条件，充要条件的理解．

加深对充分条件，必要条件，充要条件的理解，形成技能．

小

结

1. 前推后充分．

2. 后推前必要．

3. 互推充要．

4. 不能推，既不充分又不必要．

学生阅读教材 P21～22，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结，针对学生薄弱或易错处强调总结.

1.2.2  子集与推出的关系

【目标】

1. 正确理解子集和推出的关系．

2. 掌握通过“推出”判断集合的关系．

3. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，学会分析问题和解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．

【重点】理解子集和推出的关系．

【难点】理解通过“推出”判断集合的包含关系．

【方法】 本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，运用现代化教学手段进行教学．通过创设情景，用普遍联系的观点审视事物，引导学生自己去发现、分析、归纳，形成概念．穿插有针对性的练习及讲解，并配以题组训练模式，使学生边学边练，及时巩固，深化对概念的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1. 口答下列各题：

(1)什么情况下p是q的充要条件？

(2)什么情况下p是q的充分条件？

(3)什么情况下p是q的必要条件？

2. 用充分条件、必要条件或充要条件填空：

(1) x 是整数是x是有理数的    ；(2) x＞5是 x＞3的           ．

师：提问．

生：回答.

师：设置情景，引入新知．

从推出观点看：x是整数Þ x是有理数；

从两个集合关系看：整数集是有理数集的子集．

生：感受从推出和两个集合关系两个角度，了解两者关系．

复习旧知识导入新课．

联系实际，激发兴趣．

启发学生能够从不同角度发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力.

新

课

新

课

1. 已知 Q＝{x | x是有理数}，R＝{x | x是实数}，Q是R的子集．

命题“如果x是有理数，则x是实数”正确．

即：x是有理数Þ x是实数．反过来，如果上述命题正确，那么有理数集Q也一定是实数集R的子集．

2. 山东省公民构成的集合一定是中国公民构成的集合的子集．

命题“如果我是山东省公民，则我是中国公民”正确．一般地，设A＝{x | p(x)}，B＝{x | q(x)}，如果A Í B，则x Î A Þ x Î B．于是x具有性质 p Þ x具有性质q，即 p Þ q；反之，如果A中的所有元素x都具有性质q(x)，则A一定是B的子集．

例1  判断下列集合A与B的关系．

(1) A＝{x | x 是12的约数}，B＝{x | x 是36的约数}；

(2) A＝{x | x＞3}，B＝{x | x＞5}；

(3) A＝{x | x 是矩形}，B＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．

解  (1) 因为  x 是12的约数Þ x 是36的约数，所以  A Í B．

(2) 因为  x＞5 Þ x＞3，所以  B Í A．

(3) 因为  x 是矩形 Û x 是有一个角为直角的平行四边形，所以  A Û B．

练习1

教材P24 练习A组第1题．

例2  已知 A＝{x | x 是等腰三角形}，B＝{x | p(x)}，试确定一个集合B，使A Í B．

解  因为  A Í B，则  x是等腰三角形Þ x具有性质p(x)，p(x)：x是三角形，

所以  B＝{x | x是三角形}．

练习2

教材P24，练习A组第2题．

师：展示实例，引导学生观察、思考.

生：观察两种形式，感受通过两个集合之间的关系来判断命题的逻辑关系．

师：继续展示实例，逐步引导学生得出结论：我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系．

师：以填空的形式出示二者关系，引导学生得出结论；

生：讨论、举例．

师生共同分析、判定学生举例的正误．

师：出示例题.

生：讨论分析，试判断．

师：请学生发表各自想法后梳理解题思路，板书解题过程；引导学生理解子集和推出之间的关系．

学生模仿练习．

生：思考、讨论，分析解题思路，发表自己的看法．

师：点拨、解答学生疑难；对学生得出的多种正确结论予以肯定，并进行鼓励，给以赏识性评价．

学生模仿练习．

利用实例直观感知，让学生体会通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，便于学生接受新知．

两种表达方式的理解是难点，通过实例突破学生这一思维障碍．教师指导学生发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．通过学生举例，深化理解．

通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生归纳总结解题思路．

通过例题和练习，加深学生对子集和推出关系的理解，熟练进行特征性质之间的推出关系与对应的集合之间关系的转化．提高学生分析问题和解决问题的能力.

巩固学生对子集和推出关系的理解，形成技能．

小

结

我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系．

设 A＝{x | p(x)}，B＝{x | q(x)}，如果 pÞq，则A Í B．反之亦然．

学生阅读教材P23～24，畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调总结．

第二章  不等式

2.1.1  实数的大小

【目标】

1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．

2．从身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．

3．培养勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化是我们一种优秀的思维品质．

【重点】理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．

【难点】用作差比较法比较两个代数式的大小．

【方法】通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40 km/h．若用 v (km /h)表示汽车的速度，那么 v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？

右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50 km/h．若用 v (km /h)表示汽车的速度，那么 v 与50之间的数量关系用怎样的式子表示？

学生根据生活经验回答情境问题．

答：v≤40．

答：v≥50．

从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性．

新

课

研究实数与数轴上的点的对应关系．

观察：点 P 从左向右移动，对应实数大小的变化．

呈现结论：数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．

a＞b Û a－b＞0

a＝b Û a－b＝0

a＜b Û a－b＜0

含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠)的式子，叫做不等式．

练习1 在数学表达式：①－5＜1；  ②2 x＋4＞0；

③ x2＋1；   ④x＝6；⑤y≠4；     ⑥ a－2≥a

中，不等式的个数是(    )．

(A) 2   (B) 3   (C) 4   (D) 5

练习2 把下列语句用不等式表示：

(1) y 是负数；

(2) x2是非负数；

(3)设 a 为三角形的一条边长，a 是正数；

(4) b为非正数．

例1 比较下列各组中两个实数的大小：

(1) －3和－4；　　　(2) 和；

(3) －和－ ；　(4) 12.3和12．

解  (1)因为 (－3)－(－4)＝－3＋4＝1＞0，

所以  －3＞－4；

(2)因为  －＝－＝＞0，

所以  ＞．

例2  对任意实数 x，比较(x＋1)(x＋2)与(x－3)(x＋6)的大小．

解  因为  (x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6)

＝(x2＋3x＋2)－(x2＋3x－18)

＝20＞0．

所以  (x＋1)(x＋2)＞(x－3)(x＋6)．

练习3

(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；

(2)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小．

例3  比较(x2＋1)2 与 x4＋x2＋1 的大小．

解  因为  (x2＋1)2－(x4＋x2＋1)

＝(x4＋2x2＋1)－x4－x2－1

＝x2≥0，

所以  (x2＋1)2≥ x4＋x2＋1，当且仅当 x＝0时，等式成立．

练习4

(1)比较 2 x2＋3 x＋4 和 x2＋3 x＋3 的大小；

(2)比较 (x＋1)2 和 2 x＋1的大小．

师：实数与数轴上的点的关系是怎样的？

点A对应的实数与点B对应的实数各是多少？哪个大？

生：实数与数轴上的点是一一对应的．

点A表示实数3，点B表示实数－2，点A在点B右边，3＞－2．

当点P在不同的位置，学生分别比较点P对应的实数与点A，点B对应实数的大小．

个别学生口答，其他学生评价，遇到问题，小组讨论解决．

教师引导，学生口答．共同完成(1)和(2)．

学生完成(3)(4)．

学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．

学生复习(a＋b)2的展开式．

学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．

通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．

在复习初中知识的基础上加以提升．

因为例题1较为简单，讲解两个，剩余两个让学生练习，使学生在参与中学习使用作差比较的方法．但仅限于使用，不必强调要求学生掌握这个方法．

初步学习用作差比较法判断两个代数式的大小．

小

结

作差法的步骤：作差 ® 变形 ® 定号(与0比较大小) ® 结论．

2.1.2  不等式的性质

【目标】

1．掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题．

2. 掌握应用作差比较法比较实数的大小．

3．培养合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质．

【重点】不等式的三条基本性质及其应用．

【难点】不等式基本性质3的探索与运用．

【方法】通过回顾玩跷跷板的经验，探究天平两侧物体的质量的大小，理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之．通过题组训练，逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

【展示情境1】

创设天平情境问题：观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？

由此判断：如果a＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？

从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性．

新

课

新

课

新

课

性质1(传递性)

如果 a＞b，b＞c，则 a＞c．

分析  要证a＞c，只要证 a－c＞0．

证明  因为  a－c＝(a－b)＋(b－c)，

又由  a＞b，b＞c，即  a－b＞0，b－c＞0，

所以  (a－b)＋(b－c)＞0．

因此  a－c＞0．

即    a＞c．

【展示情境2】

性质2(加法法则)

如果 a＞b，则 a＋c＞b＋c．

证明  因为  (a＋c)－(b＋c)＝a－b，

又由  a＞b，即  a－b＞0，

所以  a＋c＞b＋c．

思考：如果 a＞b，那么 a－c＞b－c．是否正确？

不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变．

推论1  如果 a＋b＞c，则 a＞c－b．

证明  因为  a＋b＞c，

所以  a＋b＋(－b)＞c＋(－b)，

即    a＞c－b．

不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．

练习1

(1)在－6＜2  的两边都加上9，得         ；

(2)在4＞－3  的两边都减去6，得         ；

(3)如果 a＜b，那么 a－3      b－3；

(4)如果 x＞3，那么 x＋2      5；

(5)如果 x＋7＞9，那么两边都     ，得 x＞2．

小组合作探究：

学生4人一组，把不等式5＞2的两边同时乘以任意一个不为0的数，观察不等号的方向是否变化．多试几次，你发现什么规律了吗？

性质3(乘法法则)

如果 a＞b，c＞0，那么 a c＞b c；如果 a＞b，c＜0，那么 a c＜b c．

证明  因为  a c－b c＝(a－b)c，

又由  a＞b，即  a－b＞0，

所以  当 c＞0时，(a－b)c＞0，即  a c＞b c；

所以  当 c＜0时，(a－b)c＜0，即  a c＜b c．

如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．

思考：如果 a＞b，那么 －a      －b．

练习2

(1)在－3＜－2的两边都乘以2，得        ；

(2)在1＞－2的两边都乘以－3，得        ；

(3)如果 a＞b，那么－3 a       －3 b；

(4)如果 a＜0，那么 3 a       5 a；

(5)如果 3 x＞－9，那么 x      －3；

(6)如果－3 x＞9，那么 x       －3．

练习3  判断下列不等式是否成立，并说明理由．

(1)若 a＜b，则 a c＜b c．               (   )

(2)若 a c＞b c，则 a＞b．               (   )

(3)若 a＞b，则 a c2＞b c2．              (   )

(4)若 a c2＞b c2，则 a＞b．              (   )

(5)若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1) ．     (   )

学生思考、回答得出性质1．

引导学生判断：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向是否改变？

学生口答，教师点评．

学生猜想结果后，小组内合作探究、交流，教师巡回指导．

学生代表进行口答，其他学生评价．

练习2前3个小题由学生思考后口答；后3个小题同桌之间讨论，回答．

创设一种情境，给学生提供了想象的空间，为后续学习做好了铺垫．

让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人．把课堂变为学生再发现、再创造的乐园．

对不等式的性质及时练习，进行巩固．

把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律．

性质３学生容易出错，用练习及时巩固，通过相互评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点．

小

结

要点：不等式的三条基本性质．

方法：作差比较法.

注意点：不等式的两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向必须改变．

回顾、总结、矫正、提高．帮助学生形成本节课的知识网络．

2.2.1  区间的概念

【目标】

1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．

2. 渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．

3. 培养合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．

【重点】 用区间表示数集．

【难点】 对无穷区间的理解．

【方法】通过不等式介绍闭区间的有关概念，在数轴上表示两种不同的区间，类比得出其它区间的记法．在此基础上用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．

【教学过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

提问：

(1) 用不等式表示数轴上的实数范围；

(2) 把不等式1≤x≤5在数轴上表示出来．

学生思考、回答，并在练习本上作出图象．

复习初中所学旧知，有助学生在已有知识的基础上建构新的知识．

新

课

新

课

设 a，b 是实数，且 a＜b．满足 a≤x≤b 的实数 x 的全体，叫闭区间，记作 [a，b]，如图．

a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．

全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．

例1  用区间记法表示下列不等式的解集：

(1) 9≤x≤10；     (2) x≤0.4．

解  (1) [9，10]；    (2) (－∞，0.4]．

练习1  用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：

(1) －2≤x≤3；     (2) －3＜x≤4；

(3) －2≤x＜3；     (4) －3＜x＜4；

(5)  x＞3；         (6)  x≤4．

例2  用集合的性质描述法表示下列区间：

(1) (－4，0)；  (2) (－8，7]．

解  (1) {x | －4＜x＜0}；(2) {x | －8＜x≤7}．

练习2  用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：(1) [－1，2)；  (2) [3，1]．

例3  在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．

解  如图所示．

练习3

已知数轴上的三个区间：(－∞，－3)，(－3，4)，(4，＋∞)．当 x 在每个区间上取值时，试确定代数式 x＋3的值的符号．

教师讲解闭区间，开区间的概念，记法和图示，学生类比得出半开半闭区间的概念，记法和图示．

用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．

教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．

学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．

学生抢答，巩固区间知识．

学生代表板演，其它学生练习，相互评价．

同桌之间讨论，完成练习．

教师只讲两种区间，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫．

学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。

三个例题之间，穿插类似的练习题组，使学生掌握不等式记法，区间记法，数轴表示三者之间的相互转化．逐层深入，及时练习，使学生熟悉区间的应用．

小

结

填制表格：

集合

区间

区间名称

数轴表示

{x|a＜x＜b}

{x|a≤x≤b}

{x|a≤x＜b}

{x|a＜x≤b}

集合

区间

数轴表示

{x | x＞a }

{x | x＜a }

{x | x≥a }

{x | x≤a}

师生共同完成表格．

通过表格归纳本节知识，有利于学生将本节知识条理化，便于记忆。

2.2.2  一元一次不等式(组)的解法

【目标】

1. 了解一元一次不等式（组）概念，掌握一元一次不等式（组）的解法．

2. 通过教学，体会数形结合、类比等数学思想方法．

3. 通过对不等式有关概念的学习，培养知识迁移能力和建模意识，以及合作学习的意识．

【重点】一元一次不等式（组）的解法．

【难点】用数轴确定不等式（组）的解集．

【方法】首先介绍一元一次不等式的有关概念，接着介绍一元一次不等式的解法及相应的步骤，这是解一元一次不等式组的基础．最后在数轴上用区间表示各不等式的解集，在此基础上求出相应不等式组的解集．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

展示本章的章前语关于全球通和神州行的服务资费问题．

问题1  如果只考虑本地通话的费用，则通话时间为多少时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用？

解  设本地通话时间为 x min，由题意得

0.6 x＜50＋0.4 x．

解这个不等式的步骤依次为

0.6 x－0.4 x＜50，               (移项)

0.2 x＜50，         (合并同类项)

x＜250．    (两边同除以0.2，

不等号的方向不变)

所以，在本地通话时间小于250 min时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用．

设置实际生活情境问题。教师适当点拨，直至得出不等式．此次活动中，教师应重点关注：讨论要有足够的时间和空间，学生在小组讨论交流时，发表自己的想法．

情景在课本中起导入新课作用，考虑学生实际情况(分析应用题的能力尚欠缺)和题目难度，应设置层层递进的问题，以降低难度．

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课

新

课

新

课

1．一元一次不等式．

未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．

例1  解不等式  2(x＋1)＋＞－1．

解  由原不等式可得

12(x＋1)＋2(x－2)＞21 x－6，  (原式两边乘6)

12 x＋12＋2 x－4＞21 x－6，        (分配律)

12 x＋2 x－21 x＞－12＋4－6，      (移项)

－7 x＞－14，      (合并同类项)

x＜2．         (不等式性质)

所以，原不等式的解集是{x | x＜2}，即(－∞，2)．

解一元一次不等式的步骤：

S1　去分母；

S2　去括号；

S3　移项；

S4　合并同类项，化成不等式(ax＞b)(a≠0)的形式；

S5　不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为{x|x＞}（或{x|x＜}）．

练习1  求下列不等式的解集：

(1) x＋5＞2；(2) －≥．

2．一元一次不等式组．

一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

问题2  某塑料制品加工厂为了制定某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的信息如下：

(1) 此产品第四季度已有订货数4 000袋；

(2) 每袋需要原料0.1吨，可供原料410吨；

(3) 第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多504工时，每人每工时生产2袋．

请你根据以上的数据，决定第四季度可能的产量．

解：设该产品第四季度产量为 x 袋：

由题意知

解得   4 000≤x≤4 100．

所以，第四季度该产品的产量应不少于4 000袋且不多于4 100袋．

例2　解下列不等式组：

(1)   (2)

解：（1）由原不等式组可得

即

所以x≤－5．

即原不等式的解集为{x|x≤－5}．

（2）由原不等式

即

所以　－12＜x≤－1．

即原不等式组的解集为{x|－12＜x≤－1}．

解一元一次不等式组的步骤：

S1　求这个不等式组中各个不等式的解集；

S2　求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．

练习2  解不等式组：

学生根据初中所学知识，在教师指导下，集体口答完成．

教师强调不等式解集的书写格式．

结合例1，师生共同总结解一元一次不等式的步骤．

学生完成练习，相互评价．

学生在教师的指导下，分析问题2，结合以前知识，解决问题．

教师强调x的取值范围应当同时满足3个不等式．

师：解由几个不等式组成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分．

教师指导学生利用数轴求解不等式组的解集．

学生在教师的引导下，完成第（2）题．

师生共同总结解一元一次不等式组的步骤．

学生独立完成，小组交流后，全班订正．

依据不等式有关性质，对不等式进行同解变形．

类比一元一次方程的解法，总结步骤．

学生通过练习由易到难，掌握一元一次不等式的解法．

让学生从已有的数学经验出发，从生活中建构数学模型，体现了数学生活化、生活数学化的思想．

通过练习，巩固一元一次不等式组的解法．

小

结

解一元一次不等式的步骤；

解一元一次不等式组的步骤．

2.2.3  一元二次不等式的解法(一)

【目标】

1. 理解一元二次不等式的概念；掌握一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一元二次不等式的关系．

2. 进一步理解用数轴表示不等式解集的方法，体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力和逻辑思维能力．

3. 激发学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【重点】一元二次不等式的解法．

【难点】将一元二次不等式转化为同解的不等式组．

【方法】首先通过旅馆客房的租金问题引入一元二次不等式的解法问题，然后，介绍一元二次不等式的有关概念，学习用化归的思想把一元二次不等式转化为同解的一元一次不等式组．从而求出其解集．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．解一元二次方程：

（1）x2－15x+50 =0；　　（2） x2-x-12=0．

2．解一元一次不等式组：

（1）（2）（3）（4）

教师展示问题，学生快速解答．

复习一元二次方程及一元一次不等式组的解法，为本节课的学习打下基础．

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课

新

课

新

课

问题  一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2元，则客房每天出租会减少10间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于10 000元．

解  设每间客房的日租金增加 x 个2元，即客房的日租金为(30＋2 x)元，这时将有300－2 x 房间租出．

(300－2 x)(30＋2 x)≥10 000，

－20 x2＋600 x－300 x＋9 000≥10 000，

x2－15 x＋50≤0，

(x－5)(x－10)≤0，

本不等式等价于不等式组：

(Ⅰ)或(Ⅱ)

解不等式组(Ⅰ)，得5≤x≤10；

解不等式组(Ⅱ)，得其解集为空集．

所以原不等式的解集为[5，10]．

即旅社将每间客房的日租金提高40到50元时，可以保证每天客房的总租金不少于10 000元．

1．一元二次不等式的概念．

只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．

它的一般形式是ax2＋bx＋c＞0  或  ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

练习1  判断下列不等式是否是一元二次不等式：

(1) x2－3x＋5≤0；(2) x2－9≥0；

(3) 3x2－2 x＞0； (4) x2＋5＜0；

(5) x2－2 x≤3；  (6) 3 x＋5＞0；

(7) (x－2)2≤4；  (8) x2＜4．

2．解一元二次不等式．

例1 解下列不等式：

(1) x2－x－12＞0；

(2) x2－x－12＜0．

解  因为

D＝(－1)2－4×1×(－12)＝49＞0，

方程 x2－x－12＝0 的解是 x1＝－3，x2＝4，

则 x2－x－12＝(x＋3)(x－4)＞0．

同解于一元一次不等式组：

(Ⅰ)

或 (Ⅱ)

不等式组(Ⅰ)的解集是{x | x＞4}；

不等式组(Ⅱ)的解集是{x | x＜－3}．

故原不等式的解集为{ x | x＜－3或 x＞4}．

练习2  解一元二次不等式：

（1） (x＋1)(x－2)＜0；

（2） (x＋2)(x－3)＞0；

（3） x2－2x－3＞0；

（4） x2－2x－3＜0．

教师引导，师生共同进行分析，解题，教师规范地板书解题过程．

学生在教师指导下，分析一元二次不等式的定义．

学生对比一元二次方程理解一元二次不等式的概念．

学生口答，进行解题．

教师分析：怎样把一元二次不等式转化成一元一次不等式组？

学生根据实数乘法法则，在教师的引导下，分析出等价的一元一次不等式组．

学生仿照例1(1)，独立完成例1(2)．

学生独立练习，部分学生板演．

本问题中的题目难度较大，所以教师要进行恰当地引导．

知识呈现的序列性，从易到难，使学生“列不等式”的能力实现螺旋上升．

采用生活情境作为导入内容，然后层层推进，步步设问，环环相扣，直至推出不等式的概念及解法．

通过练习，辨析一元二次不等式．

教师讲解一元二次不等式的解法，给出解一元二次不等式的步骤．

通过练习使学生进一步掌握一元二次不等式的解法．

小

结

a x2＋b x＋c＞0或 a x2＋b x＋c＜0 (a≠0)中，当 b2－4 a c＞0时进行求解：

(1) 两边同除以 a，得到二次项系数为1的不等式；

(2) 分解因式变为(x＋x1)(x＋x2)＞0或(x＋x1)(x＋x2)＜0的形式．

结合例题及练习，师生共同总结一元二次不等式的解法．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

2.2.3  一元二次不等式的解法(二)

【目标】

1. 进一步学习一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一元二次不等式的关系．

2. 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力，逻辑思维能力．

3. 激发学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．

【重点】一元二次不等式的解法．

【难点】根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集．

【方法】首先回顾完全平方公式，复习初中学习的配方法，接着用例题介绍用因式分解法和配方法解一元二次不等式的步骤，基本思想仍然是把二次不等式转化为一次不等式（组）来求解．最后给出解一元二次不等式的一般步骤．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．(a＋b)2＝                       ；

(a－b)2＝                       ．

2．把下面的二次三项式写成a(x＋m)2＋n的形式：

(1) x2＋2x＋4；    (2) x2－2x＋1．

3．解下列一元二次不等式：

(1) x2＋8x＋15＞0

(2)－x2－3x＋4＞0

(3) 2x2－3x－2＞0

学生通过练习，复习一元二次不等式的解法．

教师巡视指导．

复习初中学习的完全平方公式和配方法，为本节课的教学打下基础．复习巩固上一节的内容.

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课

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课

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课

例2  解下列不等式：

(1) x2－4 x＋4＞0；(2) x2－4 x＋4＜0．

解  (1)由于 x2－4 x＋4＝(x－2)2≥0，

所以原不等式的解集为{ x | x≠2}；

(2) 由（1）可知，没有一个实数x使得不等式

(x－2)2＜0

成立，所以原不等式的解集为Æ．

例3  解不等式：

(1) x2－2 x＋3＞0；(2) x2－2 x＋3＜0．

解  (1) 对于任意一个实数 x，都有

x2－2 x＋3＝(x－1)2＋2＞0，

即不等式对任何实数都成立，

所以原不等式的解集为R．

(2) 对于任意一个实数x，不等式

(x－1)2＋2＜0

都不成立，所以原不等式的解集为Æ．

练习1  解下列不等式：

(1) x2－2x＋3≤0；

(2) x2＋4x＋5＞0；

(3) x2－2x＋1＞0．

解一元二次不等式的步骤：

S1　求出方程ax2+bx+c＝0的判别式D＝b2－4ac的值．

S2　（1）D＞0，则二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）

有两个不等的根x1，x2（设x1＜x2），则

ax2+bx+c＝a(x－x1)(x－x2) ．

不等式a(x－x1)(x－x2)＞0的解集是

(－¥，x1)∪(x2，＋¥)；

不等式a(x－x1)(x－x2)＜0的解集是

(x1，x2) ．

（2）D＝0，通过配方得

a( x＋ )2＋＝a( x＋ )2．

由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是

(－¥，－ )∪(－，＋¥)；

ax2+bx+c＜0的解集是Æ．

（3）D＜0，通过配方得

a(x＋ )2＋（＞0）．

由此可知，ax2+bx+c＞0的解集是R；ax2+bx+c＜0的解集是Æ．

练习2  解下列不等式：

（1） 4 x2＋4 x－3 ＜0； （2） 3 x≥5－2 x2；

（3） 9 x2－5 x－4≤0；  （4） x2－4 x＋5＞0．

学生在教师的引导下，运用初中所学的配方法，进行配方，通过分析求出一元二次不等式的解集．

学生根据教师讲解，完成例2 (2)．

学生根据教师讲解，完成例3 (2)．

学生对于D＝0，D＜0两种情况进行练习，掌握各种情况．

师生结合前面学过的例题和做过的练习共同总结，．

教师强调对于a＜0的情况，通过在已知不等式两端乘上－1，可化为a＞0的情况求解．

学生对一元二次不等式的所有情况进行综合练习．

学生根据已有的知识，探索D＝0时一元二次不等式的解法．

探索D＜0时一元二次不等式的解法．

学生仿照例题求出类似不等式的解集．

总结各类情况下解一元二次不等式的步骤，培养学生分类讨论的思想．

通过练习使学生进一步掌握一元二次不等式的解法．

小

结

解一元二次不等式的步骤．

师生共同回顾．

2.2.4  含有绝对值的不等式

【目标】

1. 理解绝对值的几何意义；掌握简单的含有绝对值的不等式的解法，

2. 掌握含有绝对值的不等式的等价形式．| x |≤a Û －a≤x≤a；| x |≥a Û x≤－a 或x≥a（a＞0）．

3. 通过教学，体会数形结合、等价转化的数学思想方法．

【重点】含有绝对值的不等式的解法．

【难点】理解绝对值的几何意义．

【方法】首先复习绝对值的概念和不等式的基本性质，在数轴上把几个不相同的数的绝对值表示出来，探讨能否在数轴上把满足|x|＞3的x表示出来，从而逐步学习简单的含有绝对值的不等式的解法．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1. 不等式的基本性质有哪些？

2. | a |＝

教师用课件展示问题，学生回答．

以提问形式复习旧知识，引出新问题．

新

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新

课

新

课

一、|a|的几何意义

数 a 的绝对值|a|，在数轴上等于对应实数a的点到原点的距离．

例如，|－3|＝3，|3|＝3．

二、|x|＞a与|x|＜a的几何意义

问题1

（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？

（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集吗？

结论：

|x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，其解集是{x|x＞a或x＜-a}．

|x|＜a的几何意义是到原点的距离小于a的点，其解集是{x|-a＜x＜a}．

三、解含有绝对值的不等式

练习1  解下列不等式

（1）|x|＜5；    （2）|x|－3＞0；

（3）3|x|＞12．

例1  解不等式|2x－3|＜5

解  由|2 x-3|＜5，得

－5＜2 x－3＜5，

不等式各边都加3，得

－2＜2 x＜8，，

不等式各边都除以2，得

－1＜x＜4．

所以原不等式解集为{x|-1＜x＜4}．

例2  解不等式|2 x－3|≥5．

解  由|2 x－3|≥5得

2 x－3≤－5或 2 x－3≥5，

分别解之，得

x≤－1或 x≥4，

所以原不等式解集为

{x| x≤－1或 x≥4}．

四、含有绝对值的不等式的解法总结

|a x＋b|＜c (c＞0) 的解法是

先化不等式组 -c＜a x＋b＜c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．

|a x＋b|＞c（c＞0）的解法是

先化不等式组a x＋b＞c 或a x＋b＜－c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．

练习2  解下列不等式

（1）|x＋5|≤7 ； （2）|5 x－3|＞2 ．

学生结合数轴，理解|a|的几何意义．

对于每个问题都请学生思考后回答，教师给与恰当的评价并给出正确答案．

（1）|x|=3的几何意义是：在数轴上对应实数3的点到原点的距离等于3，这样的点有二个： 对应实数3和-3的点；

（2）|x|＞3的几何意义是到原点的距离大于3的点，其解集是

﹛x|x＞3或x＜-3﹜；

|x|＜3的几何意义是到原点的距离小于3的点，其解集是

{x|-3＜x＜3﹜．

师：试归纳写出  |x|＞a， |x|＜a（a＞0）的几何意义及解集．

学生结合数轴进行讨论，作出回答．

学生练习，教师巡视指导．

教师分析时．可采用整体代换的思想：

设z＝2x－3，则由|z|＜5，可得

－5＜ z ＜5，

所以  －5＜2x－3＜5，

然后求解．

师：在解|ax＋b|＞c与|ax＋b|＜c (c＞0)型不等式的时候，一定要注意a的正负．当a 为负数时，可先把a化成正数再求解．

让全体同学在练习本上做，教师巡视，并请几位同学在黑板上作．

类比旧知识，教师提出新问题，学生解答．逐步帮助学生推出解含绝对值不等式的方法．

通过启发学生，尽量让学生自己归纳出解法，锻炼学生总结概括能力并加深学生对该知识点的理解．

通过练习，使学生进一步掌握|x|＞a与|x|＜a两类不等式的解法．

通过这两道例题的分析，使学生能够熟悉并总结出解含绝对值不等式的方法步骤．

通过启发学生，尽量让学生结合两例题自己归纳出解法，锻炼学生的总结概括能力并加深学生对该知识点的理解．使学生进一步掌握含绝对值不等式的解法．

小

结

(1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对值符号的不等式；

(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性，即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等式是等价的．

学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

2.3  不等式的应用

【目标】

1. 能够根据实际问题中的数量关系，列一元一次不等式组解决实际问题．

2. 通过例题，学会从数学的角度认识问题，理解问题，提出问题，学会从实际问题中抽象出数学模型．

3. 认识数学与人类生活的密切联系，培养应用所学数学知识解决实际问题的意识．

【重点】能够根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决实际问题．

【难点】审题，根据实际问题列出不等式组．

【方法】紧密联系熟悉的生产和生活实际，有针对性地选择几个可以用一元一次不等式组解决的问题，巩固一元一次不等式的解法，并且特别强调，要注意实际问题中，未知数的取值范围，使思维更加周密，提高运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

不等式的性质是什么？

师：今天我们研究如何利用所学的不等式知识来解决有关实际问题．

引入课题．

新

课

新

课

新

课

例1   某工厂生产的产品单价是80元，直接生产成本是60元，该工厂每月其他开支是50 000元．如果该工厂计划每月至少获得200 000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，问每月的产量是多少？

解  每月生产x件产品，则总收入为80x，直接生产成本为60 x，每月利润为

80x－60x－50 000＝20x－50 000（元），

依据题意，得

20x－50 000≥200 000，

解得

x ≥12 500．

所以每月产量不少于12 500件．

例2  某公司计划下一年度生产一种新型计算机，各部门提供的数据信息：

人事部：明年生产工人不多于80人，每人每年按2 400工时计算；

市场部：预测明年销售量至少10 000台；

技术部：生产一台计算机，平均要用12个工时，每台机器需要安装某种主要部件5个；

供应部：今年年终将库存这种主要部件

2 000件，明年能采购到得这种主要部件为80 000件．

根据上述信息，明年公司的生产量可能是多少？

解  设明年生产量为x台，则依据题意得：

，

解得：

.

所以明年这个公司的产量可在10 000台至16 000台之间．

例3  已知一根长为100 m的绳子，用它围成一个矩形，问长和宽分别为多少时，围成矩形的面积最大？

解：设矩形的长为 x m，宽为y m ，面积为S m2，

根据题设条件，有

x＋y＝50，且 x＞0，y＞0．

S＝x y．

≤＝25．

所以  x y≤625，当且仅当 x＝y＝25时，等号成立．

所以，要想使铁丝框的面积最大，长和宽分别为25 m．

教师提出问题：

（1）假设每月生产x件产品，则总收入是多少？总的直接生产成本是多少？

（2）每月的利润怎么表示？

（3）至少获得200 000元的利润

的含义是什么？

学生探究教师提出的问题，先得到每月的利润，进而得到不等式．

教师提出问题：

（1）假设明年公司的产量为x台，则按技术部计划，生产x台计算机需总工时是多少？人事部计划明年的总工时是多少？两者的关系是什么？

（2）生产x台计算机，按技术部计划，需要多少个主要部件？供应部明年能提供多少这种主要部件？两者的关系是什么？

（3）市场部预测明年销售量至少10 000台的含义是什么？

教师引导学生分析问题，设未知数，得到不等式后，由学生完成解答过程．

均值定理：

若a，b是正数，则

≥，

当且仅当a＝b时，等号成立．

通过问题设置，让学生通过探究活动将实际问题转化为不等式问题．

本题难度相对较大，教师不仅仅教会学生解决这个问题，而且还要教学生学会解决这类问题的方法．

教师指导学生层层分析，教会学生怎样审题，分析题目中的数据，然后，由学生完成解答过程．

小

结

解不等式应用题的步骤：

（1）分析题意，找出实际问题中的不等关系，设定未知数，列出不等式（组）；

（2）解不等式（组），求出未知数的范围；

（3）从不等式（组）的解集中求出符合题意的答案．

师生共同进行课堂小结．

第三章  函数

3.1.1  函数的概念

【目标】

1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．

2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在 x＝a处的函数值．

3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．

【重点】函数的概念及两要素，会求函数在 x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．

【难点】用集合的观点理解函数的概念．

【方法】 通过两个实例，分析抽象出函数概念，更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．试举出各类学过的一些函数例子．

2．初中函数定义

在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，就相应地确定了唯一的y值，那么我们就称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量，y 是因变量．

师：事物都是运动变化的，如：气温随时间在悄悄变化；我国的国内生产总值在逐年增长等．在这些变化中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化．在数学中，我们用函数来描述两个变量之间的关系．

师：提出问题．

生：回忆解答．

师生共同回忆初中函数定义．

为知识迁移做准备．在阅读适量的例子后再回顾引出初中定义，由具体到抽象，符合职校学生的认知能力．

新

课

新

课

一、函数概念

1. 问题1   一辆汽车在一段平坦的道路上以100 km/h的速度匀速行驶2小时．

（1）在这个问题中，路程、时间、速度这三个量，哪些是常量？哪些是变量？

（2）如何用数学符号表示行驶的路程s（km）与行驶时间t（h）的关系？

（3）行驶时间t（h）的取值范围是什么？

（4）对于行驶时间中的每一个确定的t值，你能求出汽车行驶的路程吗？

（5）根据初中知识，关系式s＝100 t

（0≤t≤2）表示的是函数关系吗？

2．问题2    如果一个圆的半径用r表示，它的面积用A表示．

（1）你能用数学符号表示圆的面积A与它的半径r之间的关系吗？

（2）在A与r的关系式中，r的取值范围是什么？

（3）关系式A＝p r2（r＞0）表达的是一种函数关系吗？因变量是哪个量？自变量是哪个量？

3．两个事实

4．函数概念

设集合 A 是一个非空的数集，对 A 内任意实数 x，按照某个确定的法则 f，有唯一确定的实数值 y 与它对应，则称这种对应关系为集合 A 上的一个函数．记作：y＝f (x)．其中 x 为自变量，y 为因变量．自变量 x 的取值集合 A 叫做函数的定义域．对应的因变量 y 的取值集合叫做函数的值域．

5．

6．函数两要素：定义域和对应法则．

要检验给定两个变量之间的关系是不是函数，只要检验：

（1）定义域是否给出；

（2）对应法则是否给出，并且根据这个对应法则，能否由自变量x的每一个值，确定唯一的y值．

B

A

例1  判断下列图中对应关系是否是函数：

7．有关符号：

(1) 函数y＝f (x)也经常写作函数 f (x)或函数f．

(2) 也可以将 y 是 x 的函数记为 y＝g(x)，或者 y＝h(x)，等．

二、求函数值

函数 y＝f (x)在 x＝a 处对应的函数值y，记作  y＝f (a)．

例2  已知函数 f (x)＝．

求： f (0)，f (1)，f (－2)， f (a)．

解 f (0)＝＝1，f (1)＝＝，

f (－2)＝＝－．f (a)＝．

练习1  教材 P61，练习A组第2题．

三、函数的定义域

函数关系式中，函数的定义域有时可以省略，如果不特别指明一个函数的定义域，那么这个函数的定义域就是使函数有意义的全体实数构成的集合．

例3  求函数 y＝ 的定义域．

解  要使已知函数有意义，

当且仅当

所以函数的定义域为

{x | x≥－3，x≠0}．

练习2  教材 P61，练习B组第2题．

学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题．

教师针对学生的回答进行点评．

师： 从问题1和问题2中，可以看到两个重要的事实：

（1）在每个例子中都指出了自变量的取值集合；

（2）都给出了对应法则．对自变量的一个值，都有唯一的一个因变量值与之对应．

教师引导学生学习函数的概念．

学生阅读课本函数概念，在理解的基础上记忆函数概念．

师：函数关系实质是非空数集到非空数集的对应关系．

师：函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定．

学生讨论例题中的对应关系是否满足函数的定义，并解答之．

教师总结，一个自变量x只能有唯一的y与之对应．

教师讲解函数符号的含义．

学生分组讨论求解的方法；

小组讨论后教师引导完成．

教师引导学生求函数值．

教师强调函数的定义域是一个集合．

总结求分式函数，偶次根式函数的定义域的方法．

教师强调定义域的表示形式．

学生讨论求解．

问题一、二是为突出本课重难点而设计．

深度挖掘教材提出的两个问题，在回顾了初中的函数知识的基础上，进一步讨论自变量的取值范围，以及自变量与因变量的对应关系，为顺利引出函数定义做准备．

通过阅读讨论分析，利用学生原有知识结构．

结合问题1、2的实例，降低对函数概念的理解难度．

分析两个实例，归纳得出两个事实，为引出函数的概念做最后的准备．

用图形能更直观地表示两个重要事实．

借助问题1、问题2加深对函数概念的理解．强调“集合 A 是一个非空的数集”、“法则”、“唯一”等关键词语．

使学生理解函数关系实质是非空数集到非空数集的对应关系．

使学生明确

（1）函数值域不是函数的要素的原因；

（2）函数两要素的作用．

利用函数的两要素来判断两变量的关系是否是函数关系还需要在以后的学习中加以巩固．

通过本例，使学生进一步理解函数关系的实质．

在本节中首次引入了抽象的函数符号 f (x)，学生往往只接受具体的函数解析式，而不能接受 f (x)，所以应让学生从符号的含义开始认识，这部分教师必须讲解清楚．

进一步加强学生对f（a）的理解．

求定义域题目不必过难，重点在理解定义域的概念．

小

结

1. 函数概念．

2. 两要素．

3. 函数符号．

4. 定义域．

师生合作．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.1.2  函数的表示方法

【目标】

1. 了解函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．

2. 已知函数解析式会用描点法作简单函数的图象．

3. 培养学生数形结合、分类讨论的数学思想方法，通过小组合作培养学生的协作能力．

【重点】函数的三种表示方法；作函数图象．

【难点】作函数图象．

【方法】 先借助一个实例，简要介绍函数的三种表示方法，进一步刻画函数概念；然后通过两个例题，初步感知如何由解析式分析函数性质以指导画图，避免画图的盲目性．初步了解数形结合研究函数的方法，为下面学习函数的单调性和奇偶性做铺垫．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．函数的定义是什么？

2．你知道的函数表示方法有哪些呢？

师：提出问题．

生：回忆思考回答．

为知识迁移做准备．

新

课

新

课

1．函数的三种表示方法：

(1) 解析法

(2) 列表法

(3) 图象法

2．问题.

由3.1.1节的问题中所给的函数解析式

s＝100 t (0≤t≤2)

作函数图象．

解：列表(略)；

画图

3．针对上面的例子，思考并回答下列问题：

(1) 在上例描点时，是怎样确定一个点的位置的？哪个变量作为点的横坐标？哪个变量作为点的纵坐标？

(2) 函数的定义域是什么？

(3) s的值能大于200吗？能是负值吗？为什么？函数的值域是什么？

(4) 距离 s 随行驶时间 t 的增大有怎样的变化？

4．例1  作函数 y＝x3 的图象．

解  列表

画图

5．结合例1完成下列问题：

(1) 函数y＝x3 的定义域、值域是什么？

(2) 函数值y随x的增大有怎样的变化？

(3) f(a)与f(－a)相等吗？有怎样的关系？

(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？

6．例2  作函数y＝ 的图象．

解  列表

画图

7．结合例2解答下列问题：

(1) 函数y＝的定义域、值域是什么？

(2) 在第一象限中，函数值y随x的增大有怎样的变化？在第二象限中呢？

(3)  f (a)与 f (－a)相等吗？有怎样的关系？

(4) 函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？

学生阅读教材 P62，了解函数的三种表示方法．

师：函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象．

师：你知道画函数图象的步骤是什么吗？

生：第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线．

师：在问题及解答过程中，我们分别用到了哪些函数的表示方法？

生：解析法、列表法、图象法

教师引导学生利用函数图象分析回答函数的性质．

师：由上例可以看出，我们在列表、作图时，要认真分析函数，避免盲目列表计算．函数的图象有利于我们研究函数的性质，如本例中函数的定义域、值域以及y随x增大而增大等性质．

教师引导学生分析：

函数 y＝x3 的定义域是R，当 x＞0时，y＞0，这时函数的图象在第一象限，y 的值随着 x 的值增大而增大；当 x＜0时，y＜0，这时函数的图象在第三象限，y 的值随着 x 的值减小而减小．

教师引导学生完成列表、描点及连线，完成函数图象．

师生合作完成例1，让学生体会取值前如何分析研究函数式的特点．

学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．

学生小组合作分析课本例2如何取值．

学生作出例2图象，教师针对出现的情况进行点评或让学生互评．

教师强调自变量的取值，即 {x | x≠0}．

学生分组讨论完成，从讨论中掌握分析函数性质的方法．

这一部分内容简单，可采用阅读思考等方式进行教学，充分利用教材资源发挥学生的主动性．

培养学生勤于思考善于分析的意识和能力．

本题的设置起到了承上启下的作用．

为突破本节课难点而设计．问题(4)为下节引入函数的单调性做准备．

让学生在作图过程中体会函数的性质，从做中学．

尽可能把主动权交给学生，使学生在自主探索中发现问题解决问题．

问题(3)(4)的设置是为引入函数的奇偶性作准备．

避免为作图象而作图象，让学生在画图的过程中学习．

让学生进一步掌握分析函数性质的方法．并为下一步学习函数的单调性与奇偶性做准备．

小

结

1. 函数的三种表示方法．

2. 作函数图象．

学生畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.1.3  函数的单调性

【目标】

1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．

2．领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．

【重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．

【难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．

【方法】用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．

师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．

联系实际，

激发兴趣．

新

课

新

课

新

课

1．课件展示下列函数图象

2．增函数与减函数的定义：

增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．

减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．

3．例1  给出函数 y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？

解  函数 y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．

4．练习1

(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；

(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．

5．设 y＝f (x)，在给定的区间上，它的图象如图．

在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记

Dx＝x2－x1，Dy＝y2－y1．

6．例2  证明函数 f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

证明  设x1，x2是任意两个不相等的实数，则

D x＝x2－x1

D y＝f (x2)－f (x1)

＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)

＝3(x2－x1)，

＝＞0．

因此，函数 f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．

7．总结由函数的解析式判定函数单调性的步骤：

S1  计算 Dx和 Dy；

S2  计算 k＝．

当 k＞0时，函数在这个区间上是增函数；

当 k＜0时，函数在这个区间上是减函数．

8．例3  证明函数 f (x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数．

证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．

因为  Dx＝x2－x1，

Dy＝f(x2)－f(x1)＝－

＝

＝－

＝－

．

又因为  x1 x2＞0，

所以  ＝－

＜0．

因此，函数 f (x)＝

 在区间(0，＋∞)上是减函数．

9．练习2

证明函数 f (x)＝ 在区间 (－∞，0)上是减函数．

师：提出问题，引导观察思考：

1．观察图象的变化趋势怎样？

2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？

生：观察动画，思考回答．

教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．

学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．

教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．

学生回答，教师点评．

教师带领学生结合增函数图象分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是增函数．

学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．

教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．

教师讲解例题2，板书详细的解题过程．

教师引导学生总结解题步骤，可简记为：

一设、二求、三判定．

学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．

学生模仿练习．

从图象直观感知函数的单调性．

通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．

从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．

通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．

将增函数、减函数定义中的定性说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．

启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．

在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．

通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．

突出重点，深化证明步骤，分解难点．

通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断的正负．

巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．

巩固理解，形成技能．

小

结

1. 函数单调性的定义；

2. 判定函数单调性的方法．

学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．

老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.1.4  函数的奇偶性

【目标】

1. 理解奇函数、偶函数的概念；掌握奇函数、偶函数的图象特征．

2. 掌握判断函数奇偶性的方法．

3. 培养类比推理的能力，体会由具体到抽象、由特殊到一般的辩证唯物主义思想．

【重点】奇偶性概念与函数奇偶性的判断．

【难点】理解奇偶性概念与奇函数、偶函数的定义域．

【方法】 先由两个具体的函数入手，发现函数f(x)在x与在－ x的函数值之间的关系，由特殊到一般引出奇函数的定义，再由点的对称关系得出奇函数的图象特征．然后自主探索，类比得出偶函数定义．结合定义与例题总结出判断函数奇偶性的步骤，在解题过程中深化对概念的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

复习前面所学求函数值的知识．

教师提出问题，学生回答．

为学生理解奇、偶函数的定义做好准备．

新

课

新

课

已知：函数f (x)＝2 x和 g (x)＝ x3．

试求当 x＝±3，x＝±2，x＝±1，…，时的函数值，并观察相应函数值的关系．

发现规律：对定义域R内的任意一个x，都有 f (－x)＝－f (x)；g(－x)＝－g(x)．

证明：

f (－x)＝2 (－x)＝－2 x＝－f(x)；

g (－x)＝ (－x)3＝－ x3＝－g(x)．

一、奇函数

1. 定义．

如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内的任意一个x都有

f (－x)＝－f (x)，

则这个函数叫做奇函数．

2. 图象特征．

课件展示函数f (x)＝2 x和 g (x)＝ x3的图象，动画展示对称性．

奇函数的图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．

一个函数是奇函数的充要条件是，它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．

例1  判断下列函数是不是奇函数：

(1) f (x)＝；  (2) f (x)＝－x3；

(3) f (x)＝x＋1；(4) f(x)＝x＋x3＋x5＋x7．

解  (1) 函数 f (x)＝ 的定义域

A＝{x | x ≠ 0}，

所以当 x Î A时，－x Î A．

因为  f (－x)＝＝－＝－f (x)，

所以函数 f (x)＝ 是奇函数．

(2) 函数 f (x)＝－x3 的定义域为 R，

所以当 x Î R 时，－x Î R．

因为  f(－x)＝－(－x)3＝x3＝－f (x)，

所以函数 f (x)＝－x3 是奇函数．

(3) 函数 f (x)＝x＋1的定义域为R，

所以当x Î R时，－x Î R．

因为 f (－x)＝－x＋1

－f (x)＝－(x＋1)＝－x－1，

所以  f (－x)≠－f (x)．

所以函数 f (x)＝x＋1不是奇函数．

(4) 函数 f (x)＝x＋x3＋x5＋x7的定义域为R，所以当x Î R时，－x Î R．

因为 f (－x)＝－x－x3－x5－x7

＝－(x＋x3＋x5＋x7)

＝－f (x)．

所以函数f(x)＝x＋x3＋x5＋x7是奇函数．

练习1 教材 P 73，练习A组 第1题．

二、偶函数

1. 定义．

如果对于函数 y＝f (x)的定义域A内的任意一个x都有

f (－x)＝f (x)，

则这个函数叫做偶函数．

2. 图象特征．

偶函数的图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形．

一个函数是偶函数的充要条件是，它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．

例2  判断下列函数是不是偶函数：

(1) f (x)＝x2＋x4；

(2) f (x)＝x2＋1；

(3) f (x)＝x2＋x3；

(4) f (x)＝x2＋1，xÎ[－1，3].

解

(2) 函数 f (x)＝x2＋1的定义域为R，

所以当 x Î R时，－x Î R．

因为 f (－x)＝(－x)2＋1

＝x2＋1＝f (x)，

所以函数 f (x)＝x2＋1是偶函数．

(4) 因为2Î[－1，3]，－2Ï[－1，3]，

所以函数 f (x)＝x2＋1，xÎ[－1，3]不是偶函数．

3. 对定义域的要求

一个函数为奇函数或者偶函数的前提条件是这个函数的定义域关于原点对称．

练习2 判断下列函数是不是偶函数：

(1) f (x)＝(x＋1)(x－1)；

(2) f (x)＝x2＋1，xÎ(－1，1]；

(3) f (x)＝．

y

-1

1

x

学生计算相应的函数值．

教师引导学生发现规律，总结规律：自变量互为相反数时，函数值互为相反数．

老师引导学生给出证明．

教师通过引例，归纳得到奇函数定义．

师：播放动画．

生：观察动画，回顾轴对称、中心对称图形的定义．

观察函数 f (x)＝2 x和f (x)＝ x3的图象，它的对称性如何？

总结奇函数的图象特征．

教师出示例题．

教师首先请学生讨论：判断奇函数的方法．

学生尝试解答例题(1)，对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结判断方法：

S1  判断当 xÎA时，是否有－x ÎA，即函数的定义域对应的区间是否关于坐标原点对称；

S2  当S1成立时，对于任意一个 xÎA，若f(－x)＝－f(x)，

则函数 y＝f(x)是奇函数．

板书解题过程；其间穿插师生问答．

老师强调，引起学生重视．

学生模仿练习．

学生探究：偶函数．

师：结合函数 f (x)＝x2的图象，出示自学提纲：

1. 偶函数的定义是什么？

2. 偶函数的图象有什么特征？一个函数是偶函数的充要条件是什么？

3. 偶函数对定义域的要求是什么？

生：自学教材P71~72——偶函数的有关内容，每四人为一组，讨论并回答自学提纲中提出的问题．

师：以提问的方式检查学生自学情况，订正学生回答的问题答案，并出示各知识点．

给学生以赏识性评价．

师：出示例题．

生：分析解题思路．在黑板上解答(1)(2)(3)．

师：引导学生订正黑板上的答案，规范解题过程，梳理解题步骤．

教师结合图象讲解(4)．

对比(2)，(4)的解题过程，发现判断函数奇偶性时，所给定义域的重要性．

结合函数的图象强调定义域关于原点对称是一个函数为奇函数或偶函数的前提．

学生模仿练习；师生统一订正．

由特殊到一般，发挥学生自主性．

提高学生的读图能力，渗透数形结合的数学思想．

在奇函数的定义中定义域对应的区间关于坐标原点对称是学生思维的难点.本环节为突破这一难点而设计．

通过分组讨论探究，使学生深刻理解定义中隐含的对定义域的要求．

例题根据各种不同情况进行设计，作了层次处理．

在教师引导讲解例题后紧跟相应练习，使学生对每一类型都有比较深刻印象，符合学生认知心理，为学生更好地掌握定义奠定基础．

规范解题步骤,使学生模仿形成技能．

通过例题与练习的解答，加深对奇函数定义的理解，并将定义运用到解题中．

通过类比、自学，培养学生的理性思维，提高学生的学习能力，加强学生间的合作交流．

在掌握了奇函数判断方法的基础上，放手让学生自己去进行偶函数的判断，提高学生举一反三解决问题的能力．

根据学生做题情况，了解学生对本节课知识的掌握情况．

小

结

1. 函数的奇偶性

定义

图象特征

奇函数

偶函数

2. 判断函数奇偶性的步骤：

S1  判断当 xÎA 时，是否有 －xÎA ；

S2  当S1成立时，对于任意一个xÎA：

若 f (－x)＝－f (x)，则函数 y＝f (x)是奇函数；

若 f (－x)＝f (x)，则函数 y＝f (x)是偶函数．

1. 学生读书、反思：读教材 P 69～73——函数的奇偶性，总结本节课收获．

2. 教师引导梳理

(1)出示表格，学生填表，巩固所学内容．

(2)总结判断一个函数奇偶性的步骤．

通过对比，加深理解，强化记忆．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.2.1  一次、二次问题

【目标】

1. 通过实际问题感知一次、二次函数在实际生活中的应用．

2. 培养从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．

3. 培养应用数学的意识，提高分析问题、解决问题的能力．

【重点】从实际问题中抽象简单的数学模型．

【难点】从实际问题中抽象简单的数学模型．

【方法】对实际问题先用列表计算与画图的方法来直观感知，然后抽象成一次函数和二次函数来研究，通过教学，培养从实际问题中抽象出一次、二次函数模型并应用模型去解决实际问题的能力．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．分别写出一次函数、二次函数的一般形式．

2．函数分类：

(1) y＝3 x；       (2) y＝－3 x－2；

(3) y＝x2－3 x－4；(4) y＝－x2－2 x＋3．

生：同桌交流，合作完成．

师：引导学生观察这四个关系式的等号右边，如果要将这些函数进行分类，如何分类比较合理？引入课题．

唤醒对旧知识的记忆．

新

课

新

课

例  用长为20 m 的绳子围成一个矩形，写出两边长之间的函数关系.想想看，两边长各是多少时，围成的矩形面积最大？

1．试填下面的表格(见课件)．

2．设矩形的一边长为 x m，另一边为 y m，能用含 x 的代数式来表示 y吗？

3．x 的值可以任意取吗？有限定范围吗？

结论：y＝10－x (0≤x≤10)是一次函数．

4．又设矩形的面积为 S，我们发现S 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式．

5．从表中得出 x(x 为整数)为多长时，矩形面积获得最大值？

6．作函数图象，从图象中求出当x为何值时，面积有最大值．

基本步骤：列表、描点、连线．

S

x

结论：

当矩形的一边小于5 m 时，函数值随边长增加而增加；

当矩形的一边等于5 m 时，矩形面积获得最大值；

当矩形的一边大于5 m 时，函数值随边长增加而减小．

7．用配方法分析，当x为何值时，面积有最大值．

S＝x(10－x)

＝－x2＋10 x

＝－(x2－10 x)

＝－(x2－10 x＋25－25)

＝－[(x－5)2－25]

＝－(x－5)2＋25．

所以当 x＝5时，矩形面积获得最大值．

结论：

S＝a(x＋)2＋．

当 x＝－ 时，函数有最值．

练习1  求自变量 x 为何值时，函数取得最大值或最小值？

(1) f (x)＝－x2＋3；

(2) f (x)＝－x2－8；

(3) f (x)＝x2－5；

(4) f (x)＝－(x－5)2－3．

练习2  求自变量x为何值时，函数取得最大值或最小值．

(1) f (x)＝x2－2 x－3；

(2) f (x)＝－x2＋4 x－8．

师：投影例题．

师：提出问题，引导学生分组交流，合作完成前3个问题．

生：分组交流，合作完成．然后每个小组都汇报交流结果，如果有疑义，其他小组可以补充，最后教师给出正确结论．

对于第4、5步师生共同分析，教师首先引导学生从表格中找到当 x＝5时，矩形面积最大是25．

学生依据上面的表格画出函数的图象．

教师首先引导学生关注图象的最高点，得出 x＝5时矩形面积最大是25．

教师进一步引导学生观察图象，得出函数值的变化趋势．

师生共同解决．

教师引导学生关注配方法的几个关键地方．

教师引导学生回忆得出二次函数配方后的形式．

学生抢答．

学生自行解决，教师巡视并加以指导，同时有两名学生板演．

对于求最值的问题，历来是学生的难点，不知从何处入手，为了突破这一难点，把该题进行了分解，分为5个小问题．这样可降低学生分析问题的难度．同时让学生进一步掌握函数的第一种表示法：列表法．

从表格直观感知面积的最值．

从图象直观感知面积的最值．同时让学生进一步掌握函数的第二种表示法：图象法．培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和读图能力．

从解析式直观感知面积的最值．同时让学生进一步掌握函数的第三种表示法：解析法． 培养学生用多种方法分析问题、解决问题的能力．

形式中当 x＝－ 时，函数有最值的理解是难点，此处的设计目的是为了突破学生这一思维障碍．加深对配方法的理解．

通过练习1、2，让学生逐步掌握利用配方法来研究二次函数．同时进一步培养学生细心观察、分析问题的能力．

小

结

1．进一步熟悉用列表、画图或公式来表示某个函数关系．

2．用配方法求自变量 x 为何值时，函数取得最值．

学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结，也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.2.2  一次函数模型

【目标】

1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．

2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．

3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．

【重点】一次函数的性质．

【难点】对正比例函数和直线的关系的理解．

【方法】 先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1. 一次函数的概念：

函数 y＝          (k，b 为常数，k   )叫做一次函数．

当 b＝   时，函数y＝k    叫做正比例函数．

2. 在直角坐标系中作出 y＝3 x 的图象．

教师屏幕显示内容，学生合作完成．

结论：正比例函数是特殊的一次函数．

师：函数 y＝3 x 的图象是一条直线吗？

教师引导学生在复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力．

新

课

新

课

新

课

一、正比例函数 y＝k x 的图象是什么形状？

以具体函数 y＝3 x 为例，令x＝0，则 y＝0，所以函数y＝3 x的图象过点O(0，0)．又 x＝1，y＝3是方程的另一个解，作点 A(1，3)，过这两个点 O，A 作直线 OA．

我们来说明直线OA是正比例函数y＝3 x的图象．

(1) 设点 P(x，y) 为直线 OA 任一点，用相似三角形的知识说明点 P(x，y)也满足函数关系式 y＝3 x．

(2) 以方程 y＝3 x 的解为坐标的点 P(x，y)一定在直线 OA 上．

二、一次函数与正比例函数图象关系

例1  在同一直角坐标系内作出下列函数 y＝x，y＝x＋2，y＝x－2的图象．

步骤：列表、描点、连线．

观察与比较  正比例函数 y＝x 与一次函数  y＝x＋2，y＝x－2图象有什么异同？

填空  这 三个函数的图象形状都是     ，并且倾斜程度      ，函数y＝x的图象经过原点，函数 y＝x＋2的图象与 y 轴交于点  ，即它可以看作由直线 y＝x

向   平移    个单位长度而得到．函数 y＝x－2的图象与 y 轴交于点       ，即它可以看作由直线 y＝x 向  平移   个单位长度而得到．

讨论

(1) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与

正比例函数 y＝k x 图象有什么关系？

(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象与x，y 轴的交点坐标是什么？

结论

(1) 一次函数 y＝kx＋b 的图象与正比例函数 y＝k x 图象的关系：

一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y＝kx＋b， 它可以看作由直线 y＝kx 沿y轴平移 |b| 个单位长度得到．(当 b＞0时，向上平移；当 b＜0时，向下平移．)

(2) 一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，b)，(－，0)的一条直线．

练习1  指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标．

(1)直线 y＝5 x＋1；

(2)直线 y＝5x－3；

(3)直线 y＝x＋5；

(4)直线 y＝x－3．

三、一次函数的单调性

当 k＞0时，函数 f(x)＝kx＋b是增函数．当 k＜0时，函数f(x)＝kx＋b是减函数．

例2  证明  一次函数f(x)＝kx＋b (k＞0)在(－∞，＋∞)上是增函数．

证明  设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，因为 Δ x＝x2－x1，而且

Δy＝k x2＋b－k x1－b

＝k(x2－x1)＝k Δx，

所以 ＝

＝k＞0．

所以当 k＞0时，函数 f (x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是增函数．

同理我们可以证明：当 k＜0 时，函数 f(x)＝k x＋b在(－∞，＋∞) 上是减函数．

因为 Dy 是函数值的改变量，Dx 是自变量的改变量，所以由 Dy＝k Dx 还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

四、总结一次函数的性质

1．一次函数 y＝k x＋b 的图象是过点(0，b)，(－，0)的一条直线．

2．当 k＞0时，函数 f (x)＝kx＋b是增函数．

当 k＜0时，函数 f (x)＝k x＋b是减函数．

3．函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

练习2  说出下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标，以及函数的增减性．

(1) y＝x＋2；

(2) y＝－2 x－1；

(3) y＝3 x＋1；

(4) y＝8 x．

师：你是怎么做出y＝3 x的图象的？

生：列表，描了两个点，连线．

师：由方程 y＝3 x 的两个解我们做出了直线 OA，那么方程 y＝3 x 的所有解都在直线OA上吗？反过来，这条直线上的所有点都满足 y＝3 x 吗？即方程 y＝3 x 的解与直线 OA 上的点是一一对应的吗？

这一部分，教师结合图示，用简洁明了的语言讲解二者之间的关系．学生了解即可，不宜过多强调．

师：正比例函数的图象是直线，那么一次函数的图象也是一条直线吗？它们的图象之间有什么关系呢?一次函数又有什么性质呢？

师：出示观察与比较，提示学生，相同点可从图象形状和倾斜度上分析．不同点可从三条直线的位置关系等方面．

生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．

师：动画演示．

学生讨论，得出结论．

学生抢答练习1．

师生交流练习1后，教师提出问题：一次函数是由正比例函数平移得到的，从图象上看，它们的单调性是怎样的？你能证明你的结论吗？

师生共同解决例2，教师板书详细的解题过程．

教师引导学生归纳得出：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

师生共同总结得出一次函数的性质．

学生口答，师生共同点评．

由学生的作图过程引发学生思考，然后在教师的问题引导下，从曲线与方程的角度来描述正比例函数 y＝3x与直线OA的关系；

画出示意图使学生更容易明确正比例函数y＝3x与直线OA上的点的一一对应关系．

从更高的层次上审视初中所学的一次函数，培养学生的理性思维以及思维的严密性．

通过例1，让学生进一步掌握利用列表描点，连线画函数的图象，并且根据图象来分析一次函数和正比例函数的关系，从而提高学生的读图能力，及文字语言转化为数学语言的能力．并与前面学过的知识结合，对学过的这两个函数有更新的认识．

教师扮演组织者的角色，鼓励学生大胆的猜测和探究，以培养学生的观察、归纳能力，让学生从中体验独立获取知识的愉悦感和成就感．

通过动画演示，可调动学生学习的兴趣和正确理解直线平移变换的过程．

由练习1的两个问题，从特殊到一般，师生一起总结得出结论．

改变教师直接给出结论的惯例，让学生通过练习，由特殊到一般，自己独立的去获取知识，培养学生的归纳、概括能力．

练习1帮助学生理解知识，形成技能．

培养学生的观察能力和归纳总结能力．

在学生具备函数增减性的知识以后，用单调性的概念重新审视初中所学的一次函数，让学生对函数的直观感知上升到理性分析的层次上，同时加深对函数单调性概念的理解．并且为

引出一次函数的性质作铺垫．

通过练习2，加深对函数性质的理解，理论与实践相辅相成．

小

结

1．一次函数 y＝k x＋b 与正比例函数 y＝k x 的关系．

2．一次函数 y＝k x＋b 的性质．

学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.2.3  二次函数模型

【目标】

1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；

2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；

3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养观察分析、类比抽象的能力．

【难点】函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．

【方法】 通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

二次函数的一般形式：

y＝a x2＋b x＋c (a≠0)，

定义域是 R．

练习1  下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项．

(1) y＝2 x2＋3 x－1； (2) y＝x＋；

(3) y＝3(x－1)2＋1； (4) y＝(x＋3)2－x2；

(5) s＝3－2 t2；     (6) v＝4 π r2．

教师引导学生回忆二次函数的一般式，并让学生举例．

学生口答．

教师在引导学生复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力．

新

课

新

课

新

课

新

课

引例  在同一坐标系内作出下列函数的图象．

y＝x2，  y＝2 x2，  y＝3 x2，

y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3 x2．

观察图象并完成填空

函数 y＝a x2 的图象，当a＞0时开口    ．当a＜0时开口    ，对称轴是      ，顶点坐标是       ．函数是    函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越   ．

例1  研讨二次函数

f (x)＝ x2＋4 x＋6的性质与图象．

解  (1) 因为

f (x)＝ x2＋4 x＋6

＝(x2＋8 x＋12)

＝(x＋4)2－2．

由于对任意实数 x，

都有  (x＋4)2≥0，

所以  f (x)≥－2，

并且，当 x＝－4时取等号，

即 f(－4)＝－2．

得出性质：

x＝－4时，取得最小值－2．记为 ymin＝－2．

点(－4，－2)是这个图象的顶点．

(2) 当y＝0时，

x2＋4 x＋6＝0，

x2＋8 x＋12＝0，

解得  x1＝－6，x2＝－2．

故该函数图象与 x 轴交于两点 (－6，0)，(－2，0)．

(3) 列表作图．

以 x＝－4为中间值，取 x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．

观察上表或图形回答：

1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？

答：相同．

2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于 x＝－4对称吗？

分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？

答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．

得出性质：

直线 x＝－4为该函数的对称轴．函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．

小结例2中的函数性质：

1．开口．

2．最值．

3．顶点．

4．对称轴．

5．单调性．

练习2(课本例3)  用配方法求函数 f (x)＝3 x2＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？

解：f (x)＝3 x2＋2 x＋1

＝3(x2＋ x)＋1

＝3(x2＋ x＋－)＋1

＝3(x＋)2＋

所以 y＝f(－)＝，函数图象的对称轴是直线 x＝－，在(－∞，－]上是减函数，在[－，＋∞)上是增函数．

例2  研讨二次函数f (x)＝－x2－4x＋3

的性质与图象．

小结  二次函数的性质．(表格见课件)

例3  已知二次函数 y＝x2－x－6说出：(1) x 取哪些值时，y＝0；

(2) x 取哪些值时，y＞0，x 取哪些值时，y＜0．

解  (1)求使 y＝0的 x 的值，即求二次方程 x2－x－6＝0的所有根．

方程的判别式

D＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，

解得：x1＝－2，x2＝3．

(2)画出简图，函数的开口向上．

从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．

所以当xÎ(－2，3)时，y＜0．

当xÎ(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．

x

练习3  下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．

(1) y＝x2＋7 x－8；

(2) y＝－x2＋2 x＋8．

总结二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系(表格见课件)．

师：如果 b＝c＝0，则一般式变为 y＝a x2 (a≠0)，下面我们先来研究这类函数的性质．出示引例．

学生在初中已经重点学过二次函数的作图，所以教师只讲述 y＝x2的图象画法，其余5个函数的图象，学生分组合作解答，教师巡回观察．最后通过屏幕演示，集体对照．

生：观察图象，小组合作讨论．然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论．

师生共同解决例1，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分析各个性质的由来．

教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线    x＝－4．

师:这个结论是否是正确的呢？

教师通过问题1、2，引导学生证明上述结论正确．

学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．

例2是二次函数中a＜0的类型，学生可类比例1，自己得出图象与性质．

例1与例2分别是二次函数中 a＞0，a＜0的两种类型，教师引导学生填表，自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆．

例3板书详细的解题过程．

通过此例题，教师总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系：

求二次方程ax2＋bx＋c＝0的解，就是求二次函数：y＝a x2＋bx＋c(a≠0)的根；

求不等式 a x2＋b x＋c＜0的解集，就是求使二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0 )的函数值小于0的自变量的取值范围；

求不等式 a x2＋b x＋c＞0的解集，就是求使二次函数    y＝a x2＋b x＋c(a≠0)的函数值大于0的自变量的取值范围．

学生模仿练习．老师巡回观察点拨、解答学生疑难．

通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象来分析函数 y＝a x2 中系数 a 对图象的影响，提高学生读图能力．

学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识．

通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．

分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．

对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四个过程，感受数学的严密性、科学性．

小结函数性质，将例1的分析条理化．

通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质．

以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然．

本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展．

方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．

巩固用图象法解一元二次不等式的步骤．

利用表格总结，使所学知识系统化．

小

结

1．二次函数的性质．

2．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

3．数形结合研究二次函数的方法．

学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

3.3  函数的应用

【目标】

1. 会应用一次函数和二次函数解决有关简单实际问题．

2. 培养建立简单的数学模型及应用模型去解决实际问题的能力．

3. 培养应用数学的意识，提高学生分析问题、解决问题的能力．

【重点】应用函数知识解决一些简单的实际问题．

【难点】从实际问题中抽象出函数模型．

【方法】 将四个例题与练习穿插在一起，教师引导与学生主动参与相结合，培养审题能力，以及从实际问题中抽象出数学模型并应用模型去解决实际问题的能力．

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

我们前面学习了一次函数，二次函数的图象与性质，下面学习几个函数应用的例子．

开门见山，直接进入课题．

新

课

例1  一种商品，如果单价不变，购买8件商品需付120元，写出这种商品件数 x 和总价值 y 之间的函数关系式．

y＝15 x，   xÎN

例2  火车从北京站开出12 km 后，以80 km/h 匀速行使．试写出火车总路程s与作匀速运动的时间t之间的函数关系式．

s＝12＋80 t， t≥0

练习1  教材 P 87，练习第1、2题．

例3  某单位计划建筑一矩形围墙．现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使墙围出的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？

解  设矩形长是 x，

则宽为 (l－2 x)，

得矩形的面积为

S＝x ＝－x2＋ x

＝－[x2－ x＋( )2－( )2]

＝－(x－)2＋．

所以该函数在 x＝ 时取最大值，且 Smax＝，这时宽也为 ．即这个矩形是边长等于 的正方形时，所围出的面积最大．

练习2  教材P88，练习第5题．

例4  一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都客满．旅社欲提高档次，并提高租金．如果每间房租增加2元，客房出租数会减少10间．不考虑其他因素旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高．

解：设提高 x 个2元，则将有10 x间客房空出，则客房租金总收入为：

y＝(20＋2 x)(300－10 x)

＝－20 x2＋600 x－200 x＋6 000

＝－20(x2－20 x＋100－100)＋6 000

＝－20(x－10)2＋8 000．

由此可得当 x＝10时，ymax＝8 000，即每间租金为20＋10×2＝40元时，每天租金的总收入最高为8 000元．

练习3 教材P88，练习第8题．

师：提出问题，引导观察思考：

1. 购买一件商品须付多少元？

2. 路程、速度与时间之间的函数关系是什么？

生：同桌交流，合作完成．

关键：找等量关系、列函数关系式、确定自变量的取值范围．

例3教师引导学生画图分析题意：

(1)设矩形长是 x，则宽为多少？

(2)面积如何表达？它是个什么函数？如何求它的最大值？

教师简单点拨，学生合作完成．教师屏幕显示具体过程．

教师引导学生回忆二次函数的配方过程．并强调配方法的几个关键步骤：

(1) 提系数；

(2) 所配常数为一次项系数一半的平方．

例3结束后，教师引导学生总结解函数应用题的一般步骤：

1. 设未知数(确定自变量和函数)；

2. 找等量关系，列出函数关系式；

3. 化简，整理成标准形式(一次函数，二次函数等)；

4. 利用函数知识，求解(通常是最值问题)；

5. 写出结论．

对例4，老师须带领学生详细分析题意，解题时只点拨如何假设未知量，启发学生讨论并尝试解答．

例1、例2是一次函数模型的应用，难度较小，可让学生自己解决．

培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力．

例3是二次函数最值问题，以学生为主题分析解题思路．

函数最值问题是函数应用中的重点同时也是难点，此题的设计目的是为了突破学生这一思维障碍．提高学生的建模能力，同时进一步巩固配方法在二次函数中的应用．

在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．

对于例4的教学，让学生读懂题意是解决问题的关键．

每个例题之后，分别设计练习1，2，3，让学生模仿例题解答，强化数学建模思想以及熟练掌握函数应用题的解题步骤．

小

结

解函数应用题的一般步骤：

1. 设未知数(确定自变量和函数)；

2. 找等量关系，列出函数关系式；

3. 化简，整理成标准形式(一次函

数，二次函数等)；

4. 利用函数知识，求解(通常是最值问题)；

5. 写出结论．

学生阅读课本畅谈本节课的收获，老师引导梳理，总结本节课的知识点．

梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．

第四章  指数函数与对数函数

4.1.1  有理指数(一)

【目标】

1. 理解整数指数幂及其运算律，并会进行有关运算．

2. 培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．

3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养学生合作交流等良好品质．

【重点】零指数幂、负整指数幂的定义．

【难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程，整数指数幂的运算．

【方法】主要采用问题解决法和分组教学法．在引入指数幂时，以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材，既体现数学的应用价值，也能引起学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的

＝am-n (m＞n，a ≠ 0)

这一法则出发，通过取消m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义，从而把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中，要以取消m＞n这一条件为出发点，让学生积极大胆地猜想，以此增强学生的参与意识，从而提高学生的学习兴趣．

【教学过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

在一个国际象棋棋盘上放一些米粒，第一格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒……一直到第64格，那么第64格应放多少粒米？

第1格放的米粒数是1；

第2格放的米粒数是2；

第3格放的米粒数是2×2；

第4格放的米粒数是2×2×2；

第5格放的米粒数是2×2×2×2；

……

第64格放的米粒数是2×2×2×…×2.

学生在教师的引导下观察图片，明确教师提出的问题，通过观察课件，归纳、探究答案．

师：通过上面的解题过程，你能发现什么规律？那么第64格放多少米粒，怎么表示？

学生回答，教师针对学生的回答给予点评．并归纳出第64格应放的米粒数为263．

师：请用计算器求263的值．

学生解答．

通过问题的引入激发学生学习的兴趣．

在问题的分析过程中，培养学生归纳推理的能力．

为引出an设下伏笔．

用计算器使问题得到解决．

新

课

一、正整指数幂

1．定义

一般地，an (nÎN+) 叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数．并且规定：

a1＝a．

当n是正整数时，an叫正整指数幂．

练习1  填空

(1) 23×24＝　　；am×an＝　　；

(2) (23)4＝　　；(am)n＝　　；

(3) ＝　　　；＝　　　(m＞n，a≠0)；

(4) (xy)3＝　　；(ab)m＝　　．

练习2  计算  ．

二、零指数幂

规定：

a0＝1 (a≠0)

练习3  填空

(1) 80＝　　；

(2) (－0.8)0＝　　；

练习4  式子 (a－b)0＝1是否恒成立？为什么？

练习5  计算

(1) ；   (2) ．

三、负整指数幂

我们规定：

a－1＝ (a≠0)

a－n＝ (a≠0, nÎN+)

练习6  填空

(1) 8–2＝　　；(2) (0.2)－3＝　　．

练习7  式子(a－b)－4＝ 是否恒成立？为什么？

四、实数系

五、整数指数幂的运算法则

am×an＝am+n；

(am)n＝amn  ；

(ab)m＝a mb m．

练习8

(1) (2x)–2＝　　；

(2) 0.001–3＝　　；

(3) ()–2 ＝　　；

(4) ＝　　．

教师板书课题．

学生理解概念．

教师强调n是正整数．

学生回顾正整指数幂的运算法则，并尝试解决练习1、2．

练习1，学生分小组抢答；练习2，学生通过约分解得

＝1．

师：如果取消 ＝am－n

(m＞n，a ≠ 0) 中m＞n的限制，如何通过指数的运算来表示？

＝23－3＝20

教师板书：

零指数幂

a0＝1 (a≠0)．

师：请同学们结合零指数幂的定义完成练习3．

学生解答．

教师强调练习4中，等式成立的条件，即a ≠ b．

练习5，学生可通过约分解答．

师：实数m与n的大小关系除了m＞n，m＝n还有m＜n．当m＜n时，运算法则 ＝am－n一定成立吗？

学生尝试解决教师提出的问题．

教师板书：负整指数幂

a－n＝ (a≠0, nÎN+)，

并强调a的取值．

练习6由学生解答，练习7要求小组合作探究解决．

教师针对学生的解答进行点评，并强调练习7中的等式成立的条件，即a ≠ b．

师：从数的分类可知，在定义了零指数幂和负整指数幂以后，我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．

师：正整指数幂的运算法则，对整数指数幂的运算仍然成立．

板书运算法则．

通过演示将 的运算归结到am×an 中去，即

＝am×a－n＝am +(–n)＝am–n．

学生解答，练习8要求小组合作解决．

教师在讲解上述题目时，应再现每题运算过程中用到的运算律．

学生在初中已学过此概念，用投影的形式展现，学生容易联想起以前的内容．

明确各部分的名称．通过强调n是正整数，为零指数和负整指数的引入作铺垫．

通过练习，让学生回顾正整指数幂的运算律．

由特殊到一般，由具体的例子入手，引出零指数幂的定义．

突破思维困境，引入零指数幂．

第2题的目的是要让学生记住

a0＝1 (a≠0)

中的a≠0这一条件．

类比零指数的引入，负整指数的引入就顺理成章了．

练习7是为了让学生注意，在负整指数幂中底数a的取值范围．

重新回顾实数的分类，展示幂指数的推广过程，帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．

使学生对幂的运算法则给予重新认识．

突出本节知识，突出运算法则．

小

结

1．指数幂的推广

2．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：

(1) am×an＝am+n；

(2) (am)n＝amn；

(3) (ab)m＝a m b m．

回顾本节主要内容，加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．

简洁明了地概括本节课的重要知识，使学生易于理解记忆．

4.1.1  有理指数(二)

【目标】

1. 了解根式的概念和性质； 理解分数指数幂的概念；掌握有理数指数幂的运算性质．

2. 会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．

3. 培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．

【重点】分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质．

【难点】对分数指数幂概念的理解．

【方法】主要采用问题解决教学法．在引入分数指数幂时，先讲方根的概念，根据方根的定义，得到根式具有的性质．在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，引导学生注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律．在对根式的性质进行练习以后，为了解决运算的合理性，引入了分数指数幂的概念，从而将指数幂推广到了有理数范围．在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到职校学生的实际情况，并没有给出严格的推证．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．整数指数幂的概念．

an＝a×a×a×…×a (n个a连乘)；

a0＝1 (a≠0)；

a－n＝ (a≠0，nÎN+)．

2．运算性质：

am×an＝am+n；

(am)n＝amn；

(ab)m＝a m b m．

师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂，那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂，进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来探讨这个问题．

师：首先来复习一下上节课所学的内容．

学生回答教师提出的问题，教师及时给予评价．

以旧引新提出问题，引入本节课题．

复习上节所学内容．

新

课

新

课

新

课

一、根式有关概念

定义：一般地，若 xn＝a (n＞1，nÎN)，则 x 叫做a 的 n 次方根．

例如：

(1) 由32＝9知，3是9的二次方根(平方根)；

由(－3)2＝9知，－3也是9的二次方根(平方根)；

(2) 由(－5)3＝－125知，－5是－125的三次方根(立方根)；

(3) 由64＝1 296知，6是1 296 的4次方根．

有关结论：

(1) 当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数．记作：

x＝．

(2) 当n为偶数时，正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：

x＝±．

(3) 负数没有偶次方根．

(4) 0的任何次方根都为0．

当有意义时，叫做根式，n叫根指数．

正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．

例如：叫做2的3次算术根；不叫根式，因为它是没有意义的．

二、根式的性质

(1) ()

＝a．

例如，()

＝27，()

＝－3．

(2) 当n为奇数时，＝a；

当n为偶数时，＝|a| ＝.

例如：＝－5，

＝2；

＝5，＝|－3|＝3．

观察下面的运算：

(a)3＝a´3＝a　　　　①

(a)3＝a´3＝a2　　　 ②

上面两式的运算，用到了法则 (am)n＝amn，但无法用整数指数幂来解释，但是①式的含义是a连乘3次得到a，所以a可以看作是a的3次方根；②式的含义是a连乘3次得到a2，所以a可以看作是a2的3次方根．

因此我们规定

a＝，a＝，

以使运算合理．

三、分数指数幂

一般地，我们规定：

a＝  (a＞0)；

a＝＝()m (a＞0，m，nÎN+，且 为既约分数)．

a＝     (a＞0，m，nÎN+，且 为既约分数) ．

四、实数指数幂的运算法则

(1) aα×aβ＝aα+β；

(2) (aα) β＝aα β；

(3) (a b) α＝a α b α．

以上aα，aβ中，a＞0，b＞0，且α，β为任意实数．

练习1

8×8 ＝8＝81＝8；

8＝(8)2＝22＝4；

3× ×＝3×3×3×3＝31＋＋＋＝32＝9；

(ab)3＝(a)3·(b)3＝a2b．

例1  利用函数型计算器计算(精确到0.001)：

(1) 0.21.52；  (2) 3.14－2；  (3) 3.1．

例2  利用函数型计算器计算函数值．

已知 f (x)＝2.71x，求 f (－3)，f (－2)，f(－1)，f (1)，f (2)，f (3) (精确到0.001)．

请同学们结合教材在小组内合作完成．

练习2

教材 P 98，练习A组 第3题，练习B组第3题．

教师板书课题．

学生理解方根概念．

教师通过举例让学生进一步理解方根的概念．

学生在教师的引导下进一步理解根式的概念．

学生重新构建根式、根指数的概念，教师强调当有意义时，叫做根式．

学生理解根式的性质，通过实例演示，将性质应用到运算之中．

教师用语言叙述根式性质：

(1) 实数a的n次方根的n次幂是它本身；

(2) n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．

学生认真观察．

在教师的引导下，学生寻找解惑途径．

学生在教师的引导下，由特殊到一般，积极构建分数指数幂的概念．

师：负整数指数幂是怎么定义的？如何来定义负分数指数幂呢？

学生在教师的引导下，类比负整指数幂的定义，形成负分数指数幂的概念．

师：至此，我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生形成实数指数幂的概念．

学生做练习．

教师讲解例1第(1)题的操作方法．

学生结合教材，完成例1第(2)、(3)题，学习用计算工具来求指数幂 ab 的值．

引入方根的概念为下一步引入分数指数做基础．

使学生加深对方根概念的理解，为总结出结论作铺垫．

由方根的概念引入其数学记法，为引入根式的概念作准备．

引入根式、根指数的概念．

将数学语言(符号)转化为文字语言，使学生加深对性质的理解．

设置障碍，使学生积极寻找解决途径，从而调动学生思维的积极性．

通过教师引导，学生找到使运算合理的途径．

引入正分数指数幂的概念．

类比负整数指数幂的定义，引入负分数指数幂的概念．

将有理指数幂推广到实数指数幂，并给出实数指数幂的运算法则．

加深对有理指数幂的理解，并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．

使学生掌握函数型计算器的使用．

使学生进一步巩固函数计算器的使用方法．

小

结

1．

2．

3．利用函数型计算器求 ab 的值．

学生在教师的引导下回顾本节课的主要内容，加深理解根式和分数指数幂的概念；理顺实数指数幂的推广过程；回顾计算器的使用方法．

简洁明了地概括本节课的重要知识，便于学生理解记忆．

理顺本节指数幂的推广思路，使学生思维清晰．

4.1.2  幂函数举例

【目标】

1. 了解幂函数的概念，会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．

2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．

3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．

【重点】幂函数的定义．

【难点】会求幂函数的定义域，会画简单幂函数的图象．

【方法】从函数y＝x，y＝x2，y＝等导入，通过观察这类函数的解析式，归纳其共性，引入幂函数的概念．在例1求函数的定义域中，对于分数指数及负整指数的幂函数要转化为分式或根式的形式，讲解时，注意引导，让学生在解答问题的过程中自己归纳总结规律．函数图象是研究函数性质的有利工具，教师在讲授例2时，可以采用分组的方式，让学生一起合作完成函数的图象，并从本例中找出幂函数的某些性质．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．指数幂

an＝a×a×a×…×a (n个a连乘)

a0＝1；

a-n＝ (a≠0, nÎN+)；

a＝ (a>0)；

a＝ (a>0，m，n∈N+，且为既约分数)；

a＝ (a>0，m，n∈N+，且为既约分数)．

2．观察函数

y＝x2，y＝x3，y＝x 及 y＝x－1．

学生在教师的引导下，回顾指数幂的有关定义及运算法则．

师：以上函数表达式的共同特征是什么？你还能举出类似的函数吗？

学生观察函数的表达式，回答教师提出的问题．

复习上节内容，为本节学习做准备．

通过实例引入本节课题，确定本节的学习目标．

新

课

新

课

一、幂函数的概念

一般地，形如

y＝xa

的函数我们称为幂函数．

练习1  判断下列函数是不是幂函数

(1) y＝2 x；   (2) y＝2 x；

(3) y＝x；   (4) y＝x2＋3．

例1  写出下列函数的定义域：

(1) y＝x3；    (2) y＝x；

(3) y＝x－2；   (4) y＝x．

解：(1) 函数y＝x3的定义域为R；

(2) 函数y＝x，即y＝，定义域为[0，＋∞)；

(3) 函数y＝x－2，即y＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

(4) 函数 y＝x，即 y＝，其定义域为(0，＋∞)．

练习2  求下列函数的定义域：

(1) y＝x－3；  (2) y＝x；  (3) y＝x．

二、幂函数的性质

例2  作出下列函数的图象：

(1) y＝x；      (2) y＝x；

(3) y＝x2；     (4) y＝x－1．

(1)列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

y＝x

…

/

/

/

/

1

1.41

1.73

…

y＝x2

…

9

4

1

0

1

4

9

…

y＝x-1

…

－

－

－1

/

1

…

(2)描点；

(3)连线．

幂函数的性质

幂函数随幂指数α的取值不同，它们的性质和图象也不尽相同，但也有一些共性，例如，所有的幂函数都通过点(1，1)，都经过第一象限等．

练习3  画出函数y＝x的图象，并指出其奇偶性、单调性．

学生在教师的引导下归纳幂函数的概念．

学生回答练习1，进一步理解幂函数的概念． 针对学生的回答，教师结合定义点评．

在教师的引导下利用指数幂的有关定义，师生共同完成例题．

学生寻找规律，形成解题规律．

师：由上例我们可以看出，当幂函数的指数a为负整数时，一般是先将函数表达式转化为分式形式；当幂函数的指数a为分数时，一般是先将函数表达式转化为根式，然后再来求函数的定义域．

教师根据学生的解答进行点评，并给予相应评价．

师：函数图象可以直观反映函数性质，是研究函数性质的有利工具，请同学们回顾一下，作函数图象分为哪三步？

学生回答．

学生分组完成列表．

师生共同完成描点和连线，有条件的学校可利用计算机进行作图．

教师结合函数图象说明幂函数的性质．

学生在教师的引导下完成练习．

由学生自己归纳幂函数的概念，有利于他们把握和理解新概念．

使学生加强对幂函数概念的理解．

通过例题演示，使学生进一步掌握求幂函数定义域的方法．

总结规律．

使学生应用刚学过的新知识．

回顾作图过程，进一步明确函数图象是研究函数性质的有利工具．

在画图过程中，学会与人合作．

使学生对幂函数的性质有简单的了解．

复习作图过程，并强化学生读图能力培养．

小

结

1．幂函数的定义

2．求幂函数的定义域

3．通过幂函数的图象分析幂函数的性质

师生共同回顾幂函数的概念，定义域的求法以及幂函数的图象和性质．

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

4.1.3  指数函数

【目标】

1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．

2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．

3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．

【重点】指数函数的图象与性质．

【难点】指数函数的图象性质与底数a的关系．

【方法】由生活中的真实例子导入新课，引入指数函数的定义，并通过一组练习深化指数函数的定义．先通过列表——描点——连线得到指数函数的图象，然后在教师的启发下，充分利用函数的图象来研究函数的性质．为了加强学生对函数性质的应用，增加了一道求函数定义域的例题，然后安排一定数量的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的质量约是原来的84%．试写出这种物质的剩留量随时间变化的函数解析式．

教师分析解题的过程，得到y＝0.84x．

通过实例引入，让学生得到指数函数的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握指数函数的定义、性质会起到很好的帮助作用．

新

课

新

课

新

课

一、指数函数的定义

一般地，函数

y＝ax (a＞0且a¹1，xÎR)

叫做指数函数．其中x是自变量，定义域为R．

探究1：y＝2×3x是指数函数吗？

探究2：为什么要规定a＞0，且a≠1呢？

(1) 若a＝0，则当x＞0时，ax ＝0；当x≤0时，ax无意义．

(2) 若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．

如 (－2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在．

(3) 若a＝1，则对于任何xÎR，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性．

为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a¹1．

在规定以后，对于任何xÎR，ax都有意义，且 ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是 (0，＋∞)．

练习1  指出下列函数哪些是指数函数：

(1) y＝4×3x；　　(2) y＝px；

(3) y＝0.3x；　　(4) y＝x3．

二、指数函数的图象和性质

在同一坐标系中分别作出函数y＝2x和y＝()x的图象．

(1)列表：略．

(2)描点：略．

(3)连线：略．

y＝()x

练习2  作函数y＝3x与y＝()x的图象．

探究3：观察y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象，找出图象特征．

(1) 图象向左右无限延伸；

(2) 图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴；

(3) 图象都经过点(0，1)；

(4) a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；

a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降．

探究4：

(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为R”；

(2)“图象在x轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(0，＋∞)；

(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当x＝0时，ax＝1”；

(4) “a＝2或a＝3时，从左向右看图象逐渐上升；

a＝ 或a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当a＞1时，指数函数是增函数；当0＜a＜1时，指数函数是减函数”．

表4-1    指数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图

象

定义域

R

值域

(0，＋¥)

定点

(0，1)

单调性

增函数

减函数

x≥0时，y≥1；

x＜0时，0＜y＜1

X≥0时，0＜y≤1；

x＜0时，y＞1

练习3

(1) 指数函数y＝ax，当　　　　　时，函数是增函数；当　　　　　　　时，函数是减函数．

(2)若函数f(x)＝(a＋1)x是减函数，则a的取值范围是             ．

例1  用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：

(1) 1.72.5和1.73；    (2) 0.8－0.1和0.8－0.2．

解  (1) 考察函数y＝1.7x，

它在实数集上是增函数．

因为  2.5＜3，所以  1.72.5＜1.73．

请同学们用函数的图象来验证一下答案是否正确？

(2) 考察函数y＝0.8x，

它在实数集上是减函数．

因为  －0.1＞－0.2，

所以  0.8－0.1＜0.8－0.2．

请同学们用计算器验证一下答案是否正确？

练习4  比较下列各题中两个值的大小：

(1) 0.70.8　　0.70.7；

(2) 1.1－2.1　　　1.1－2；

(3) 如果2n＜2m，则n　　m．

例2  求函数 y＝的定义域．

解：要使函数有意义，则有

3x－3≥0，

所以            3x≥3，

所以              x≥1．

所以函数的定义域为 [1，＋∞)．

练习5  求函数 y＝的定义域．

教师板书课题．

通过探究问题，教师强调指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1．

学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导．

师：函数的图象是研究函数性质的有力工具，那么指数函数的图象是怎样的？如何作指数函数的图象呢？

教师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接起来，得到指数函数y＝2x的图象．

重复描点、连线的步骤，在同一坐标系中完成指数函数y＝()x的图象．

请同学分组完成练习2，教师巡查指导．

学生完成题目后，利用实物投影将学生的解答投影到屏幕．

师：指数函数：

y＝2x，y＝()x，y＝3x与y＝()x的图象有什么共同的特征？又有哪些不同？

师：你能用学过的数学语言来表示这些函数的性质吗？

教师引导学生用数学语言来表示这些函数的性质．

学生分组，采用小组合作形式完成．

师生共同完成该表．

全体学生一起回答．

教师强调：对于比较大小的问题，若是底数相同，通过构造一个指数函数，用指数函数单调性来解决．

学生画图验证．

学生用计算器验证．

学生练习并解答．

学生体会求定义域的方法．

由实例的引入，进而归纳出这种自变量在指数位置上的函数——指数函数．

对于a＞0，且a≠1这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以

强化学生对指数函数的定义的理解记忆．

让学生完成画图过程，从画图过程中加深对指数函数的感性认识．

有条件的学校可以让学生通过计算机画图软件上机操作．

为了学习指数函数的性质，先引导学生观察四个函数的图象特征，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受．

锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力．

设置本练习其目的为了进一步强化学生对指数函数性质的掌握．

通过构造指数函数来比较两值的大小，并让学生采用不同的途径来进行检验．

增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础．

加深训练．

小

结

1．指数函数的定义；

2．指数函数的图象与性质；

3．应用：

(1) 比较大小；

(2) 求函数的定义域．

师生共同回顾本节主要内容，加深理解指数函数的概念、图象与性质．

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

4.2.1  对数

【目标】

1. 理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化．

2. 培养学生的类比、分析、转化能力，提高理解和运用数学符号的能力．

3. 通过对数概念的建立，明确事物的辩证发展和矛盾转化的观点，培养学生科学严谨的治学态度．

【重点】对数的概念，对数式与指数式的相互转化．

【难点】对数概念及性质的理解掌握．

【方法】 这节课主要采用启发式和分组合作教学法．在教学过程中遵循学生是教学的主体的精神，要给学生提供各种可能的参与机会，调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生积极思维，通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解重点，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．

(1)取5次，还有多长？

(2)取多少次，还有0.125尺？

2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？     2x＝4 096．

学生通过课件的演示，在教师的带领下明确问题内涵．

师：这两个问题都是已知底数和幂的值求指数的问题．

通过生活实例引入，体现数学的应用性，引发学生的好奇心．

展示分析问题的过程，化解问题的难度，使学生通过寻找规律，归纳问题的答案．

新

课

新

课

一、对数的概念

一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即 ab＝N，那么幂指数 b叫做以a为底 N的对数．

“以a为底 N的对数b”记作

b＝logaN (a＞0且a≠1)，

其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；

(2) 对数的书写格式；

(3) 对数的真数大于零．

二、对数式与指数式的关系

由对数的定义可知，ab＝N与b＝logaN两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9 Û2＝log39．

对数式与指数式的互化：

ab＝N Û b＝log a N

练习1

(1) 将下列指数式写成对数式：

22＝4；         62＝36；

7.60＝1；        34＝81．

(2) 将下列对数式写成指数式：

log39＝2；       log416＝2；

log5125＝3；     log749＝2．

练习2  将下列指数式写成对数式 ( 其中 a＞0且 a≠1)：

21＝2；         a1＝a；

60＝1；         a0＝1．

三、对数的性质

(1) loga a＝1，即底数的对数等于1；

(2) loga1＝0，即1的对数等于零；

(3) 0和负数没有对数．

例1  求log22，log21，log216，log2．

解  (1) 因为  21＝2，

所以  log22＝1；

(2) 因为  20＝1，所以  log21＝0；

(3) 因为  24＝16，所以  log216＝4；

(4) 因为  2－1＝，所以  log2＝－1．

四、常用对数

以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log10N简记作 lgN．

例2  求lg 10，lg 100，lg 0.01．

解  (1) 因为  101＝10，

所以  lg10＝1；

(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；

(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．

例 3  利用计算器求对数(精确到

0.000 1)．

lg2 001；      lg0.618；

lg0.004；      lg396.5．

练习3  求下列各式的值

(1) lg1＋lg10＋lg100；

(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．

教师给出对数的定义，并举例说明：

因为42＝16，所以2是以4为底16的对数；

因为43＝64，所以3是以4为底64的对数．

教师强调规范的书写格式，底数的限制，并引导学生讨论真数N的取值．

教师启发引导学生归纳指数式与对数式的转换关系．

学生分组合作并抢答．

本练习由学生独立思考完成，从而使学生熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数的概念的理解．并要求每位学生会对数式与指数式互化．

师：通过练习二，你能得到什么结论？

学生分组讨论得出结论．

学生解答．

对提出的问题要求小组合作解决．

师：强调lgN的底数是10，而不是没有底数．

掌握常用对数的特殊表示．

学生抢答．

学生独立完成．

准确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定作准备．同时注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误．

让学生了解对数式与指数式的关系，明确对数式与指数式形式的区别；a，b和N位置的不同，及它们的含义．互化体现了等价转化的数学思想．

让学生在解决问题的同时归纳总结其中的规律，为学习对数的性质做准备．

由学生从特殊到一般，归纳出对数的性质．

学习应用计算器求对数，让学生体会常用对数的方便性．

知识强化训练．

小

结

一、对数

二、指数式与对数式的关系式

ab＝N Û b＝logaN

三、常用对数

以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N．

师生共同回顾本节主要内容，加深理解对数的概念、牢记指对关系式．

用最简洁的语言归纳本节课的要点，使学生更加明确本节课的要点．

4.2.2  积、商、幂的对数

【目标】

1. 掌握积、商、幂的对数运算法则，并会进行有关运算．

2. 培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．

3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．

【重点】积、商、幂的对数运算法则的应用．

【难点】积、商、幂的对数运算法则的推导．

【方法】本节教学采用引导发现式教学方法，并充分利用多媒体辅助教学，体现“教师为主导、学生为主体”的教学原则．通过教师在教学过程中的点拨启发，使学生主动思考．通过分组合作的教学方式，使学生在合作中快乐学习,培养学生的团结协作能力和集体主义情操．通过设置三组“低台阶，小坡度”的练习，满足各层次学生的学习需求，从而培养学生的计算能力和学习数学的兴趣．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

1．指数式与对数式的关系：若指数式 ab＝N，则 logaN＝b．

2．指数幂的运算法则

(1) am×an＝am＋n；

(2) (am)n＝amn；

(3) (ab)m＝a m b m．

师：以前，我们学习过数的加、减、乘、除、乘方、开方，数的加减乘除乘方开方都有自己的运算规律和运算法则，那么，我们刚学习的对数运算有什么样的运算法则呢？

学生在教师的引导下，明确教师提出的问题后，学生抢答．

通过学生抢答，使全体学生回顾有关旧知识，为对数性质的推导铺平道路．

在探究积、商、幂的对数过程中，主要运用指数式与对数式的相互转换，因此在复习中要强化这一知识点．

新

课

新

课

新

课

探究1  已知 logaM，logaN (M，N＞0)，求 logaMN．

解  设 logaM＝p，logaN＝q，

根据对数的定义，可得

M＝ap，N＝aq，

因为  MN＝ap aq＝ap＋q，

所以  loga(MN)

＝p＋q＝logaM＋logaN．

探究2  已知 N1，N2 … Nk都是大于0的数，loga(N1N2 … Nk)等于什么？

结论：

loga(N1N2…Nk)

＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk．

探究3  已知 logaM，logaN (M，N＞0)．

求 loga ．

解  设 logaM＝p，logaN＝q．

根据对数的定义，可得

M＝ap，N＝aq．

因为  ＝＝ap－ q，

所以  loga

＝p－q＝logaM－logaN．

探究4  已知 logaM (M＞0)，求 loga Mb．

解  设 logaM＝p，

由对数的定义，可得  M＝ap．

因为  Mb＝(ap)b＝abp，

所以  loga Mb＝b p＝b loga M．

即   loga Mb＝b loga M．

结论：

(1)    logaM N＝logaM＋logaN．

(M＞0，N＞0)

引申：loga(N1N2…Nk)

＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk．

(N1＞0，N2＞0，…Nk＞0)

正因数积的对数等于各因数对数的和．

(2)    loga＝logaM－logaN．

(M＞0，N＞0)

两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．

(3) loga Mb＝b logaM．(M＞0，N＞0)

正数幂的对数等于幂的指数乘以幂的底数的对数．

例1  用 logax，logay，logaz 表示下列各式：

(1) log a ；

(2) log a (x3 y5)；

(3) log a ；

(4) log a ．

解  (1) loga ＝loga(x y)－loga z

＝loga x＋loga y－loga z；

(2) loga(x3 y5)＝loga x3＋loga y5

＝3 loga x＋5 loga y；

(3) loga ＝loga －loga(y z)

＝loga

－(loga y＋loga z)

＝ loga x－loga y－loga z；

(4) log a ＝loga(x2 y z－ )

＝loga x2＋loga y＋loga z－

＝2 loga x＋ loga y－ loga z．

练习1  请用 lg x，lg y，lg z，

lg(x＋y)，lg(x－y) 表示下列各式：

(1) lg(x y z)；     (2) lg (x＋y) z；

(3) lg (x2－y2) ；  (4) lg ．

例2  计算：

lg；   log2(47×25)．

解  lg

＝ lg 100＝；

log2(47×25)

＝log247＋log2 25

＝7 log2 4＋5 log2 2

＝14＋5

＝19．

练习2  计算

(1) log3(27×92)；

(2) lg 1002；

(3) log2 6－log2 3；

(4) lg 5＋lg 2．

教师提出探究问题，学生通过小组讨论，归纳，探究问题的答案．

在学生探究后，教师给出问题的解答过程．

学生解答，分组合作．教师巡视并给予指导．

学生通过讨论后，教师给出解答过程．

教师引导学生对探究问题做总结，并写出结论，学生在总结的过程中理解、记忆公式．

学生解答，教师对学生的解答给予评价．

教师用投影仪显示练习，对照对数的运算法则，要求学生分组合作，并抢答．

学生解答，对问题3、4要求小组合作解决．

教师点评突出本节知识点，突出运算法则．

小组讨论的过程，是一个团结协作的过程，培养学生的团队精神和团结合作能力．

板书结论，有利于学生比较记忆．

明确各部分的名称，通过强调各部分的名称使学生正确理解公式．

通过练习，让学生理解对数的运算法则．并会熟练应用．

培养学生的竞争意识，勇于显示自己．

小

结

1．loga M N＝loga M＋loga N

2．loga ＝loga M－loga N

3．loga M b＝b loga M

师生共同回顾本节主要内容，加深理解、牢记运算律．

简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

4.2.3  换底公式与自然对数

【目标】

1. 掌握换底公式，了解自然对数，能利用换底公式求对数值．

2. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力．

3．培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．

【重点】换底公式．

【难点】利用换底公式求值、化简及证明．

【方法】本节采用启发引导式教学，并利用多媒体以体现“教师为主导，学生为主体”的教学原则．

通过一个特殊例子导出课题．针对本节课的特点，教师应多引导，多启发，与学生之间进行适当交流和讨论，在应用换底公式时可设定不同层次的题目，让各层次同学都能掌握公式，从而培养学生学习数学的兴趣和运用公式的能力．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

在生物科学中，常常要研究某种细胞的分裂问题：

某种细胞第1次分裂，1个分裂为2个，第二次分裂，2个分裂为4个……，问经过多少次分裂，1个这样的细胞分裂的总数为4 096个？

将对数式转化为指数式：

4 096＝2x．

两边取常用对数得

lg 4 096＝lg 2x．

即     lg 4 096＝x lg 2

x＝

＝12

教师通过课件展示回顾4.2.1节的引入实例，并提出问题．

师：该问题也就是如果知道最终分裂得到的细胞y ＝ 4 096个，我们能否求出分裂的次数x？

生：log2 y＝x．

师：像 log2 4 096 这样的对数值，是不能直接从常用对数表中查出也不能用计算器求出的．怎么办？

学生探究问题的解决方式．

师：我们可以利用计算器求常用对数的值，那么能否将所求以2为底的对数换成以10为底的常用对数？

师：如何换底？

学生分组讨论，思考求x的思路，找出解决问题的方法．

教师在学生探究的基础上给出问题的解答过程．

通过对数的应用例子，提出新的问题激发学生好奇心，提高学生学习兴趣．

提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开热烈的讨论．

特殊例子的推导为学习后面的换底公式打好基础．

新

课

新

课

一、对数的换底公式

一般地，有下面的公式

logbN＝．

注意

(1) 成立前提：

b＞0且 b≠1，a＞0，且a≠1．

(2) 公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具．通常换成以10为底．

二、自然对数

在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，记作：ln N．

探究

1．利用换底公式如何得到自然对数和常用对数的关系？

2．利用计算器直接计算：

ln 34≈3.526 4．

练习1  将下列对数换成以10为底的常用对数．

log2 6；   ln 10．

练习2  求下列各式的值

eln x；     ln e2．

练习3  求值：

log8 9×log27 32； log5 4×log8 5．

练习4  化简：log5 3×log27 125．

练习5  求证：

logx y×logy z＝logx z．

教师板书课题．

教师强调使用换底公式要注意的两个问题，使学生对两项注意有深刻认识．

教师直接给出自然对数定义，注意e是一个常数，是一个无理数．

师：换底公式的第一次应用，换成以10为底．

ln N＝≈ ．

教师指导学生使用计算器求解．

练习1、2学生独立完成，教师巡视指导．

练习3、4、5有一定难度，需要小组合作完成，教师巡视指导．

换底公式的证明不做教学要求，教师可针对学生的情况取舍．

使学生对换底公式的底数有清醒的认识即大于零且不等于1．

使学生了解自然对数与常用对数的关系，揭示数学知识的普遍联系．

将例题直接转化为练习，同时增加同类练习，由学生自己寻找解题方法，让学生感觉自己是最棒的．

小

结

1．换底公式：

logb N＝

2．自然对数：ln N

教师总结本节内容之一：换底公式，要理解推导过程，掌握公式内容，会用公式进行比较简单的计算和化简．

点明本节课的重点知识，便于学生记忆．

4.2.4  对数函数

【目标】

1. 掌握对数函数的概念，图象和性质，并会简单的应用．

2. 培养学生用数形结合的方法去解决问题．注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．

3. 培养学生发现、探索、创新的精神；培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．

【重点】对数函数的图象、性质及其运用．

【难点】对数函数图象和性质的发现过程，培养数形结合的思想．

【方法】这节课主要采用启发式和引导发现式的教学方法，结合对数函数的特点，让学生动手做，动脑想，大胆猜，以学生的研究为主体采用，引导发现式的教学方法并充分利用多媒体辅助教学．这样既增强学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，从而提高学习兴趣．通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

在指数函数的引入问题中，已经得出某种放射性物质的质量的初始值为1，它的剩留量与经过的年数的函数关系为

y＝0.84x (x≥0)，       ①

其中x为自变量，表示经过的年数，y为对应的剩留量．

根据①式画出函数图象，求约经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留一位有效数字)．

解：经过的年数

x＝log0.840.5＝≈≈4.0．

即经过4年，剩留量是原来的一半．

师：根据①式，给定一个x值(经过的年数)，就能计算出唯一的函数值y．实际上，在这个问题中知道的是y的值，要求的是对应的x值．所以用对数形式表示，

即       x＝log0.84 y．       ②

学生解题．

师：在②式中，对应任一个“剩留量y”都可以求出唯一的“经过的年数x”．所以“经过的年数x”是“剩留量y”的函数．

通常我们用x表示自变量，用y表示因变量，于是上述的函数关系，可表示为y＝log0.84 x．

提出与对数定义不同的问题引发学生的学习好奇心．

使学生初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型．

新

课

新

课

一、对数概念

一般地，把函数

y＝loga x  (a＞0且a≠1)

叫对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．

二、对数函数的图象和性质

探索与研究：

画出函数y＝log2 x与y＝log x的图象．

(1) 列表(略)

(2) 描点(略)

(3) 连线(略)

对数函数的图象特征：

(1) 图象在y轴的右侧；

(2) 图象向上无限延伸，向下无限延伸；

(3) 图象都经过点(1，0)；

(4) a＝2时，从左向右看图象逐渐上升；a＝ 时，从左向右看图象逐渐下降．

对数函数图象和性质

a＞1

0<a<1

图

象

定义域

值域

定点

单调性

例1  求下列函数的定义域(a＞0，且a≠1)：

(1) y＝logax2 ；(2) y＝loga(4－ x)．

解  (1) 要使函数有意义，必须

x2＞0，即x≠0．

所以函数y＝logax2的定义域是

{x| x≠0}．

(2) 要使函数有意义，必须

4－x＞0，即x＜4．

所以函数y＝log a(4－x)的定义域是

(－∞，4)．

例2  利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个值的大小：

(1)  log2 3与log2 3.5；

(2)  log 0.7 1.6与log 0.7 1.8．

解  (1) 考查函数y＝log2 x，

它在区间(0，＋∞)上是增函数．

因为  3＜3.5，

所以  log2 3＜log2 3.5．

(2)考查对数函数y＝log0.7 x，它在

(0，＋∞)上是减函数．

因为  1.6＜1.８，

所以  log0.7 1.6＞log0.7 1.8．

练习1  比较大小：

lg 6     lg 8；

若lg m＜lg n，则 m     n；

练习2  比较大小：

log 0.56      log 0.58；

若 log 0.5 m    log 0.5 n，则 m    n．

板书课题．

教师引导学生联系上面“情景问题”的表达式，请同学们思考讨论对数函数的概念．

师：(1) 为什么规定 a＞0且 a≠1？

(2) 为什么对数函数的定义域是(0，＋∞)？

学生讨论回答所提出的两个问题．

将学生分为两组，各作一个函数图象．

师：画函数图象的三个步骤是什么？

生：列表、描点、连线．

师：列表时，我们能否利用指数函数的解析式

y＝2x 与 y＝()x

来求对应点的函数值？

学生思考教师提出的问题，并完成列表．

师：描点之前我们要建立直角坐标系，观察你所列表格，如何建立直角坐标系？

学生尝试回答，教师点评后，让学生建立直角坐标系并完成描点．教师巡视指导．

师：描点后请同学们用平滑的曲线将点连起来．

学生完成作图．

教师展示课件中两个函数的图象．

教师引导学生观察两个函数的图象，分析归纳图象的特征．

教师引导学生总结归纳函数的性质，完成左表．

学生分组探究，教师强调真数的取值范围．

引导学生通过构造对数函数，利用函数的单调性求解．教师在点评时，还可以让学生用计算器验证，也可以利用图象法求解．

学生做练习1、2，教师点评．

让学生牢记底数大于零且不等于1，真数大于零．

通过此问让学生进一步体会指数函数与对数函数的联系．

学生自主画图，提高探索问题的能力和思维品质，在作图的过程中让学生感受成功的喜悦，加深对图象的感性认识．

培养学生观察能力．

培养学生观察、分析、归纳的能力，养成积极实践、科学探究的学习态度．

掌握性质的基础上进行初步的应用．

小

结

1．对数函数的定义．

2．对数函数的图象与性质．

师生共同回顾本节主要内容，加深理解对数函数的概念、图象和性质．

简洁明了概括本节课的重要知识．

4.3  指数、对数函数的应用

【教学目标】

1. 能够运用指数函数、对数函数知识解决某些简单的实际应用问题．

2. 通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了指数函数、对数函数知识的应用价值．

3. 通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想，提高学生学习数学的兴趣．

【教学重点】

通过指数、对数函数的应用，培养学生分析、解决问题的能力和运用数学的意识．

【教学难点】

根据实际问题建立相应的指数函数和对数函数模型．

【教学方法】

这节课主要采用问题解决法和分组合作的教学方法．在教学过程中，从学生身边的实例开始，引起学生的兴趣，体会所学知识的应用和重要性，提高学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题和解决问题的能力．通过本节内容让学生体会指数函数与对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是今后进一步学习的基础．教师应当结合学生的专业特点，增设有关例题，突出数学为专业课服务的教学理念．

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

教师提出本节要解决的问题．

引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题．

新

课

新

课

一、人口统计问题

例1  2008年我国人口总数是13.28亿，如果人口的自然年增长率控制在5‰，问哪一年我国人口总数将超过15亿？

解  设 x 年后人口总数为15亿，由题意，得

13.28×(1＋0.005)x＝15．

即  (1＋0.005)x＝．

两边取对数，得

x lg 1.005＝lg 15－lg 13.28，

所以  x＝≈24.4．

所以25年后，即2033年我国人口总数将达到15亿．

问题解决后由教师简单小结一下解答过程中的主要步骤：

(1) 阅读理解；

(2) 建立目标函数；

(3) 按要求解决数学问题．

二、大气压问题

例2  设在离海平面 x m 处的大气压强是 y k Pa，y 与 x 的函数关系是 y＝C ekx，这里 C，k 都是常量．已知某地某天在海平面与1 000 m 高空的大气压强分是101 k Pa 及90 k Pa，求600 m 高空的大气压强，又求大气压强是96 k Pa 处的高度(结果都保留2位有效数字)．

解  已知 y＝C ek x 其中 C，k 是待定的常数．

由已知条件，当 x＝0时，y＝101；

当x＝1 000时，y＝90，

得方程组

由①得  C＝101，代入②得

ek·1000＝≈0.891 1，

即  1 000 k＝ln 0.891 1；

1 000 k＝－0.115 3．

所以  k＝－1.153×10－4．

所以 y 与 x 的函数关系是

y＝101 e－1.153×10－4 x．

当 x＝600时，得

y＝101 e－1.153×10－4×600≈94.25，

当 y＝96时，得

96＝101 e－1.153×10－4 x．

－1.153×10－4x＝ln

－1.153×10－4x＝－0.051，

所以  x＝0.051×≈442.32．

因此，在高600 m 处，大气压强为94.25 k Pa；在高442.32 m 处，大气压强为96 k Pa．

练习  已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q(t)＝Q0ekt，其中t为时间，单位为分钟，Q为细菌的数量．如果一开始的细菌数量为1 000只，而在20分钟后变为3 000只，求一小时后细菌的数量．

引导学生阅读题目，找出关键语言，关键数据，在教师的引导下，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题．

教师帮助学生理解题意，分析题目，首先让学生搞清自然年增长率的含义，问题可以转化为“已知年增长率为5‰，利用指数函数求经过几年我国人口总数将超过14亿？”

教师分析：这是物理方面内容，首先要利用给出函数关系式，根据已知条件确定参数C，k．本例题要求学生采用小组合作模式解决．

学生在教师引导下，自己解答，如有问题先在小组内解决，小组内解决不了的问题，在全班内解决．

学生体会自然对数的应用．

教师在学生解答完后，选择有代表性的解答过程，利用实物投影仪将所选解题过程进行投影，教师进行点评．

学生结合例题进行练习．

体会用数学方法将其化为函数问题(或其它数学问题)并加以解决的策略．

让学生在运算中体会指数函数与对数函数的应用．

对解答过程进行总结，以使学生掌握解决实际应用问题的三个步骤．

教材中的例2专业性太强，阅读难度较大，故将例题替换为本例．要求学生解答，教师巡视及时纠正学生出现的问题．

让学生在解答过程中，体会数学建模的一般步骤．

学生在解答过程中体会现代计算技术所带来的方便．

加强练习，体会指数函数与对数函数在实际生活等方面的应用．

小

结

指数函数、对数函数、幂函数在社会学、经济学和物理学等领域中有着广泛的应用．

解决实际问题的步骤：

实际问题(读懂问题、抽象概括)→建立数学模型(演算、推理)→数学模型的解(还原说明)→实际问题的解．

其中读懂问题是指读出新概念、新字母，读出相关制约，这是解决问题的基础；建立数学模型是指在抽象、简化、明确变量和参数的基础上建立一个明确的数学关系，这是解决问题的关键．

师生共同明确解决实际应用问题的步骤．

总结本节主要内容，有利于学生学习如何运用数学知识解决实际问题．

第五章  三角函数

5.1.1  角的概念的推广

【目标】

1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．

2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．

3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【重点】理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．

【难点】任意角和终边相同的角的概念．

【方法】本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

复

习

导

入

1．复习初中学习过的角的定义．

2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？

师：初中学过的角的定义是什么？

生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．

B

师：如图：∠AOB=∠BOA=120°，

初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．

复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．

新

课

新

课

1．任意角的概念．

（1）射线的旋转方向：

逆时针方向——正角；

顺时针方向——负角；

没有旋转——零角．

画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．

例如，∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．

（2）射线的旋转量：

当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．

例如450°，－630°．

2．角的加减运算．

90°－30°

＝90°＋（－30°）

＝60°．

各角和的旋转量等于各角旋转量的和．

3．终边相同的角．

所有与α终边相同的角构成的集合可记为

S＝{x | x ＝ α ＋ k·360°，kÎZ}．

例1（1）  写出与下列各角终边相同的角的集合．

(1) 45°；      (2) 135°；

(3) 240°；     (4) 330°．

解 略．

4．第几象限的角．

在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．

处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．

例1（2）  指出下列各角分别是第几象限的角．

(1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°．

例2 写出终边在y轴上的角的集合．

解 终边在y轴正半轴上的一个角为90°， 终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是

S1＝{α | α ＝ 90°＋k·360°，kÎZ}

S2＝{α | α ＝－90°＋k·360°，kÎZ}

所以终边在y轴上的角的集合为

S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，kÎZ}

∪{α| α＝－90°＋k·360°，kÎZ}

＝{α | α＝90°＋k ·180°，kÎZ}．

模仿练习：

写出终边在x轴上的角的集合．

例3 在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？

（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．

例4 写出第一象限的角的集合．

解  在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是

{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，kÎZ}．

教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.

教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．

1．教师画图，学生说角的度数．

2．学生练习：画出下列各角：

（1）0，360°，720°，

1 080°，－360°，－720°；

（2）90°，450°，－270°，

－630°．

学生练习：求和并作图表示：

30°＋45°，60°－180°．

师：观察我们刚画过的角，

（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；

（2）90°，450°，－270°，

－630°．

思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？

学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．

师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？

得出结论．

例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．

例1（2）学生口答．

讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．

师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？

生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．

师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？

－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？

这两个集合的并集怎么求？

例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．

教师结合平面直角坐标系讲解例4．

学生分组练习：

（1）写出第二象限角的集合；

（2）写出第三象限角的集合；

（3）写出第四象限角的集合．

可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．

学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．

学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解．

将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．

例2难度较大，教师应详细讲解两个集合如何求并集．

本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．

小

结

1．任意角的概念．

2．角的加减运算．

3．终边相同的角的集合．

4．象限角的概念．

教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．

本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．

5.1.2  弧度制

【目标】

1. 理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算．

2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系．

3. 通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想．

【重点】理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的换算．

【难点】理解弧度制的概念．

【方法】在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们之间的换算方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧度制度量角．

【过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

导

入

复习初中学过的角度制．

师：初中学过角度制，1度角是怎么定义的？

生：把一圆周360等分，则其中一份所对的圆心角是1度角．且1°＝60′，1′＝60″．

师：在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制．

复习角度制．

新

课

新

课

1. 弧度制的度量单位——1弧度的角．

(1) 弧长与半径的比值 等于一个常数，只与 a 的大小有关，与半径长无关．

（2）定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度记作 rad．

2．角度制与弧度制的换算公式．

周角＝360°＝＝2π rad，

即      360°＝2π rad．

平角＝180°＝π rad，

即  180°＝π rad．

1°＝rad≈0.017 45 rad，

1 rad＝()°≈57.30°＝57°18¢ ．

由此得到 n° 与 a rad 的换算公式：

a＝ 或者 n°＝a ·（）°

特殊角的弧度数与角度数的互化，见教材 P 130对应值表．

例1  把67°30¢ 化成弧度．

解  67°30¢ ＝（）°，

67°30¢ ＝ rad×

＝ rad．

练习1  教材P131，练习A组第2题．

例2  把 rad化成度．

解   rad ＝（）°×

＝108°．

练习2  教材P131，练习A组第3、4题．

例3  使用函数型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到小数点后4位数）：

（1）67°，168°，－86°；

（2）1.2 rad，5.2 rad．

解  略．

由于角有正负，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

无论是用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系.

3．弧长公式．

由弧度的定义，我们知道弧长l与半径r的比值等于所对圆心角α的弧度数(正值),即

α ＝，得到 l＝ α·r．

这是弧度制下的弧长计算公式.

例4 如图，所对的圆心角为60°，半径为5 cm，求的长 l (精确到

0.1 cm)．

B

解  因为  60°＝，

所以  l＝ αr＝×5≈5.2.

即的长约为5.2 cm.

教师引导学生考察圆心角、弧长和半径之间的关系：

如图，两个大小不同的同心圆中圆心角为a，设a = n°，则

l＝n ，

l' ＝n ，

由此， ＝＝n ．

所以，对于任何一个圆心角a，所对弧长与半径的比值是一个仅与角a 的大小有关的常数．

这就启示我们可以用圆的半径作单位去度量弧，从而得到一种新的度量角的制度——弧度制．

师举例：若所对的弧长l＝2r，那么圆心角的弧度数就是2 rad；若所对的弧长l＝3r，那么圆心角的弧度数是多少？生：3 rad．

若所对的弧长就是l，那么圆心角的弧度数是多少？

生：rad．

师：圆的周长所对的圆心角是多少弧度？

生：圆的周长l＝2πr，

周角＝360°＝＝2π rad，即360°＝2π rad．

师：180°等于多少弧度？90°呢？60°，45°，30°呢？

得到特殊角的角度数与弧度数的换算．利用教材P130的对应值表或者数轴来记忆特殊角的弧度数．

例1和例2可由学生自己完成，教师只指导书写格式．

相应的练习题的练习方式：

（1）教师说出特殊角的角度，学生说弧度；

（2）教师说出特殊角的弧度数，学生说角度数．

通过说明同心圆中弧长与半径的比值是一个仅与圆心角α的大小有关的常数，引入1弧度的概念．

由定义出发，让学生在教师的问题引导下自己探究得出角度制与弧度制之间的换算公式和弧长公式．

帮助学生熟记特殊角的弧度数．

熟练角的弧度数与角度数的互化．

在例4中，可加上求扇形的面积一问，为课后 B 组第4题作准备．

小

结

（1）弧度制的定义；

（2）角度制与弧度制的换算公式；

（3）弧长公式．

让学生根据板书自己总结本节主要内容．

归纳整理知识点，明确弧度制的意义．

5.2.1  任意角三角函数的定义

【目标】

1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．

2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．

【重点】任意角三角函数的定义．

【难点】单位圆及三角函数线．

【方法】在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

导

入

复习锐角三角函数定义．

师：初中时我们学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？

以旧引新．

新

课

新

课

新

课

1.   任意角的三角函数定义．

已知 a 是任意角，P(x，y)， P¢(x¢，y¢)是角a 的终边与两个半径不同的同心圆的交点．

(r＝， r'＝)

如图所示：

当角 a 不变时，对于角 a 的终边上任意一点P（x，y），不论点 P 在角 a 的终边上的位置如何，三个比值，，始终等于定值．因此定义：

角 a 的余弦cos a ＝ ；

角 a 的正弦sin a ＝ ；

角 a 的正切tan a ＝ ．

依照上述定义，对于每一个确定的角 a，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值、正切值与之对应，所以这三个对应关系都是以角 a 为自变量的函数，分别叫做角 a 的余弦函数、正弦函数和正切函数．

2.   三角函数求值．

根据三角函数定义，可得计算三角函数值的步骤：

S1 画角：在直角坐标系中，作转角等于α；

S2 找点：在角α的终边上任找一点P，使|OP|＝1，并量出该点的纵坐标和横坐标；

S3 求值：根据相应三角函数的定义，求该角的三角函数值．

例1  已知角 a 终边上一点 P(2，－3)，求角a 的三个三角函数值．

解 已知点 P（2，－3），则

r＝|OP|＝＝，

由三角函数的定义，得

sin a ＝ ＝＝－；

cos a ＝ ＝＝

；

tan a ＝ ＝－；

练习1  教材P138，练习A组第1、4、5题．

例2 试确定三角函数在各象限的符号．

解 由三角函数的定义可知，

sin a＝，角 a 终边上点的纵坐标 y 的正、负与角 a 的正弦值同号；

cos a＝，角 a 终边上点的横坐标 x 的正、负与角 a 的余弦值同号；

由tan a ＝ ，则当 x 与 y 同号时，正切值为正，当 x 与 y 异号时，正切值为负．

三角函数在各象限的符号如下图所示：

练习2 确定下列各三角函数值的符号：

(1)sin(－)；(2)cos 130°；(3)tan ．

例3 使用函数型计算器，计算下列三角函数值：

(1)sin67.5°， cos372°， tan (－86°)；

(2) sin1.2，  cos ， tan ．

解  略．

3. 单位圆与三角函数线．

如图，以原点为圆心，半径为1的圆称作单位圆．

设角 a 的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作PM垂直于x轴，则  sin a＝y，cos a＝x，

即  P(cos a，sin a)．

cos a＝x＝OM；sin a＝y＝MP．

于是我们把规定了方向的线段OM，MP分别称作角a的余弦线、正弦线．

练习3（1） 在直角坐标系的单位圆中，分别画出 和－的正弦线、余弦线．

设单位圆在点A的切线与角a的终边或其反向延长线相交于点 T ( T ¢ ) ，则

tan a＝＝＝AT ( AT¢ )，

所以AT ( AT¢ )称作角α的正切线．

练习3 （2） 在直角坐标系的单位圆中，分别画出 和－的正切线．

问题1：当我们把锐角的概念推广为转角后，我们如何定义任意角的三角函数呢？

如左图所示，由相似三角形对应边成比例得，＝，＝，＝.

由于点P，P' 在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，

因此，＝，＝，＝，

所以三个比值 ，，只依赖于 a 的大小，与点 P 在 a 终边上的位置无关．

教师引领学生识记三角函数定义．

依据函数定义说明角 a 与三角函数值的对应关系．

练习：在直角坐标系中，画出半径为１的圆，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.

在例1中强调：

（１）P为角α的终边上任意一点；

（２）求三角函数值时用到的三个量x，y，r以及三者的关系；

教师可通过教材P138 练习A组第1题中的练习让学生自己总结出三角函数在各象限的符号。

根据三角函数的定义，及各象限内点的坐标的符号得出三角函数在各象限的符号，教师总结口诀，帮助学生记忆：

Ⅰ全正，Ⅱ正弦，

Ⅲ正切，Ⅳ余弦．

练习2也可以用计算器直接求出三角函数值，然后确定符号．

师：在任意角三角函数的定义中，当角 a 的终边上一点 P（x，y）的坐标满足r＝＝1时，三角函数的正弦、余弦会变成什么样呢？

看着图示，结合三角函数定义讲解正弦线、余弦线、正切线的由来．

学生自己动手，熟悉正弦线，余弦线的画法．

学生自己动手，熟悉当角a在不同象限时正切线的画法．

说明三角函数定义的理论根据．

通过学生自己动手测量,加深学生对三角函数定义的理解,并为学习单位圆做铺垫.

强调这几点为练习B组第1、2、3做铺垫.

通过练习1，熟练已知角的终边上一点求三角函数值的步骤．

由练习中的具体题目到例2的理论分析，由特殊到一般加深学生对三角函数符号的理解.

学生理解正切线难度较大，教师要详细讲解各个象限内的角的正切线的做法.

小

结

(1)任意角三角函数的定义（代数表示）．

(2)任意角三角函数值的求法（两种方法）．

(3)任意角三角函数值的符号（记住口诀）．

(4)任意角三角函数的几何表示（三角函数线）．

让学生叙述本节所学知识点以及典型例题及解题步骤．

梳理知识脉络．

5.2.2  同角三角函数的基本关系式

【目标】

1. 理解并掌握同角三角函数的基本关系式，会运用公式求值，化简，证明．

2. 培养用方程（组）解决问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力．

3. 通过学习，揭示事物间普遍联系的辨证唯物主义思想．

【重点】同角三角函数的基本关系式的推导及应用（求值、化简、恒等式证明）．

【难点】同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用．

【方法】理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用．课堂中，充分发挥学生的主体作用，让学生自主探究问题并解决问题，使学生熟练用方程（组）解决问题的方法．

【过程】

环节

内容

师生互动

设计意图

复习

导

入

复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理．

教师提出问题，学生回答．

推出

sin2a＋cos2a＝1

＝tan a

这两个基本关系式．

新

课

在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得同角三角函数的基本关系式：

sin2 a＋cos2a＝1；

＝tan a ．

师讲解：

1．sin2a，cos2a 的读法、写法．

2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式．

3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin2 β＋cos2 β＝1．

4．同角的意义：一是“角相同”；

二是“任意一个角”．

初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．

应

用

举

例

应

用

举

例

当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．

同角三角函数的基本关系式应用之一：求值．

例1  已知sin a＝，且 a 是第二象限的

角，求 a 的余弦和正切值．

解  由 sin2a＋cos2a＝1，得

cos a＝±．

因为a 是第二象限角，cos a＜0,

所以 cos a＝－＝－，

tan a＝＝＝－．

例2  已知 tan a＝－，且 a 是第二象

限角，求a 的正弦和余弦值．

解  由题意得

sin2 a＋cos2 a＝1，         ①

＝－．          ②

由②，得sin a＝－cos a ，代入①式得

6 cos2a＝1，

cos2a＝．

因为a 是第二象限角，

所以 cos a＝－，代入③式得

sin α＝－cos α

＝－×(－)

＝．

同角三角函数的基本关系式应用之二：化简．

例3 化简：．

解  原式＝＝

＝cosθ．

同角三角函数的基本关系式应用之三：证明．

例4  求证：

（1） sin4 a－cos4 a＝2 sin2a－1；

（2） tan2 a－sin2a＝tan2a sin2a；

（3）＝ ．

证明：

（1）原式左边＝(sin2a＋cos2a)(sin2a－cos2a)

＝sin2a－cos2a

＝sin2a－(1－sin2a)

＝2 sin2a－1

＝右边．

因此sin4 a－cos4 a＝2 sin2 a－1．

（2）原式右边＝tan2 a (1－cos2 a)

＝tan2 a－tan2 α cos2 a

＝tan2 a－cos2 a

＝tan2 a－sin2 a

＝左边．

因此  tan2 a－sin2 a ＝tan2 a sin2 a．

（3）证法1：

因为 －

＝

＝

＝0．

所以 ＝ ．

证法2：因为 左边＝ ·

＝ ；

右边＝ ·

＝ ．

所以  左边＝右边．

即原等式成立．

例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．

练习：教材 P141，练习A组第1（2）（3）题．

小结步骤：已知正弦（或余弦）

求余弦（或正弦）

求正切．

例2可在教师的引导下解决，带领学生详细解方程组．

练习：教材P141，练习A组第1（4）题．

小结步骤：知正切

求余弦（或正弦）．

师：求值题目总结

1．注意同角三角函数的基本关系式的变形应用．

2．已知sin a，cos a，tana中的任意一个，可以用方程（组）求出其余的两个．

教师小结化简方法：把切函数化为弦函数．

练习：教材P142，练习A组第 2题，练习B组第1题．

教师提示：证明恒等式一般从繁到简，从高次到低次．从左向右，或从右向左，或从两头向中间来证明．

可让学生自己先独立探索证明思路，再小组讨论．教师在证明思路和解题格式上给予指导．

由学生完成证明，展示不同证法，分析优劣．

对（3）作分析：

思路1：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零．

思路2：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果．

练习：教材P 142，练习A组第3题，练习B组第2题．

多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个基本关系式的应用和用方程求值的方法．

灵活应用公式，加快运算速度．为下面运用公式化简和证明做好知识铺垫．

通过讨论探究，使学生进一步熟练公式的各种变形.培养学生的发散思维，提高综合运用知识分析问题、解决问题的能力．

小

结

1. 同角三角函数的基本关系式

sin2a＋cos2a＝1，

＝tan a．

2. 求值、化简和证明题目的思路与注意事项．

师生共同总结．

5.2.3  诱导公式

【目标】

1. 理解并掌握诱导公式，会求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式；

2. 了解对称变换思想在数学问题中的应用；

3. 进一步体会数形结合的思想．

【重点】

利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简．

【难点】

诱导公式(一)、（二）、（三）的推导．

【方法】

本节课主要采用启发诱导与讲练结合的方法，借助单位圆和三角函数线，充分利用对称的性质，揭示诱导公式与同角公式之间的联系，然后讲练结合，牢固掌握其应用．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

复

习

导

入

1. 复习三角函数的定义、单位圆与三角函数线．

2. 复习对称点的知识．

1. 教师运用多媒体展示三角函数的定义、单位圆与三角函数线，提问相关问题，学生回答．

2. 师：已知任意角 a 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，请分别写出点 P 关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标．

共同回顾，为新课做准备．

新

课

新

课

新

课

1．角a与a＋k·2π（kÎZ）的三角函数间的关系．

直角坐标系中，a与a＋k·2π (kÎZ)的终边相同，由三角函数的定义，它们的三角函数值相等．

公式（一）：

sin(a＋k·2π) ＝ sin a；

cos(a＋k·2π) ＝ cos a （kÎZ）；

tan(a＋k·2π) ＝ tan a．

例1 求下列各三角函数的值：

(1) sin；(2) cos；(3) tan 405°．

解  (1)sin＝sin(＋6 π)

＝sin ＝1；

(2) cos＝cos(＋6 π)

＝cos ＝；

(3) tan 405°＝tan (45°＋360°)

＝tan 45°＝1．

2. 角a 和角－a 的三角函数间的关系．

y

如图5-17，设单位圆与角a和角－a的终边的交点分别是点P和点P´．

容易看出，点 P 与点 P´ 关于 x 轴对称．

已知P(cos a，sin a)和P¢(cos(－a)，sin(－a))．

于是，得到

公式（二）：sin（－a）＝－sin a；

cos（－a）＝ cos a；

tan（－a）＝－tan a．

例2  求下列各三角函数的值：

(1) sin (－)；    (2) cos(－)；

(3) tan(－)；    (4) sin(－)．

解  (1) sin (－)＝－sin ＝－；

(2) cos(－)＝ cos ＝ ；

(3) tan(－)＝－tan＝－；

(4) sin(－)＝－sin

＝－sin(＋2π )＝－sin＝－．

3.角a 与a ±π的三角函数间的关系．

如图5-18，角 a 与 a ±π 的终边与单位圆分别相交于点 P 与点P´，容易看出，点P 与点 P´ 关于原点对称，它们的坐标互为相反数 P( x，y)，P´(－x，－y)，

所以得到公式（三）

sin (a ± p ) ＝－sin a；

cos (a ± p ) ＝－cos a；

tan (a ± p ) ＝ tan a．

4.角a 与π－a 的三角函数间的关系．

如图5-19，角a 与π－a 和单位圆分别交于点P与点P´，由P´与点P关于y轴对称，可以得到a 与π－a 之间的三角函数关系：

sin(p－a)＝sin a；

cos(p－a)＝－cos a．

即  互为补角的两个角正弦值相等，余弦值互为相反数．

例如：sin＝ sin ＝ ；

cos＝－cos＝－．

例3 求下列各三角函数的值：

(1) sin ；     (2) cos(－)；

(3) tan(－)；  (4) sin 930°．

解　略．

例4 求下列各三角函数的值：

(1) sin(－)；    (2) cos；

(3) tan(－)；    (4) sin870°．

解　(1)sin(－)＝－sin(＋ 9π )

＝－(－sin )＝；

(2)cos＝cos(－＋ 3π )＝cos(π－)＝－cos ＝－；

(3)tan(－)＝ tan(－5π )

＝ tan ＝；

(4)sin870°＝sin(－30°＋5×180°)

＝sin(180°－30°)＝sin30°＝．

例5 化简：

解

＝

＝

＝tan2a．

师生共同探讨得出公式（一）的结构特征：等号两边是同名函数，且符号都为正．

例1由学生试着完成．

教师在例1结束后小结公式(一)的作用：把任意角的三角函数转化为0~360º之间角的三角函数．

练习：教材P146，练习A组第1（1）（2）题，第2（1）（2）题，第3（1）（2）题．

观察图5-17，教师引导学生回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（二）．

学生独立完成，并交流解题心得．

例2结束后教师小结诱导公式(二)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角三角函数．

练习：教材P146，练习A组第1（3）（4）题，第2（3）（4）题，第3（3）（4）题．

教师引导学生观察图5-18，并回答，点 P´ 与点 P 的位置关系怎样？它们的坐标之间有什么关系？推出诱导公式（三）．

学生独立完成，并交流解题心得．

教师在例3结束后小结诱导公式(三)的作用：把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．

教师总结解题步骤：先用诱导公式(二)把负角的三角函数化为正角的三角函数，然后再用诱导公式(三)把它们化为锐角的三角函数来求．进一步强化学生运用公式的灵活性．

解题关键是找出题中各角与锐角的关系，转化为求锐角的三角函数值．

教师对例5小结：化简时，综合应用诱导公式(一)、(二)、(三)，适当地改变角的结构，使之符合诱导公式中角的形式，是解决问题的关键．

体会诱导公式(一)的作用．

熟练应用公式(一)求值．

熟练应用公式（二）求值．

教师用语言叙述公式，更利于学生理解掌握公式特征．

利用例3，熟练运用公式(三)求三角函数值．

利用例4，学会综合运用诱导公式求任意角的三角函数值．

利用例5，学会综合运用各组诱导公式化简较复杂的三角代数式．

小

结

求任意角的三角函数值的步骤：

师生共同总结、交流．

让学生养成自己归纳、总结的习惯，重视数学思想方法的应用．

5.3.1  正弦函数的图象和性质

【目标】

1.  理解并掌握正弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出正弦函数的简图；

2.  进一步掌握数形结合研究函数的方法．

【重点】正弦函数的图象和性质．

【难点】用正弦线画正弦曲线，正弦函数的周期性．

【方法】 利用单位圆中的正弦线，较精确地画出正弦曲线，然后通过观察图象，得到简单的五点作图法；通过练习，熟练五点作图法．通过设置问题观察、分析正弦线的变化情况，从诱导公式与函数图象两方面来总结归纳正弦函数的性质；通过例题，进一步渗透数形结合研究函数的方法．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

复

习

复习单位圆与正弦线．

教师要求学生在直角坐标系中作出单位圆，并分组分别作出，，的正弦线，小组交流．

复习正弦线，顺利引出下面的几何法作图．

新

课

新

课

这节课，将利用正弦线来做出正弦函数 y＝sin x，xÎR 的图象．

1. 正弦函数的图象．

第一步：平分单位圆．在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O，以 O 为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A 起把圆分成12等份．

第二步：作出各角的正弦线．过圆上的各分点作 x 轴的垂线，可以得到对应于角0，，，，…，2π的正弦线．

第三步：平分坐标轴．我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，标上横坐标0，，，，…，2π．

第四步：平移正弦线．把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第五步：连线．用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y＝sin x，xÎ[0，2 π]的图象．

第六步：平移．我们把y＝sin x， xÎ [0，2 π]的图象沿x轴平移 ±2 π，±4 π，…就可以得到y＝sin x，xÎR的图象．

从图象可以看出，(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2 π，0)这五个点在确定图象形状时起着关键的作用．

例1 作函数

y＝1＋sin x，xÎ[0，2 π]

上的简图．

解  略．

练习：教材P154，练习A组第4、5题；练习B组第3题．

2. 正弦函数的性质．

由单位圆中的正弦线得正弦函数的性质：

（1）值域：［－1，1］

当 y＝＋2 kπ，k Î Z 时，y＝sin x 取得最大值1；即 y max ＝1；当 y＝－＋2 kπ，k Î Z 时，y＝sin x取得最小值－1，即ymin＝－1；

（2）周期性

定义：对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 Ｔ，使得定义域内的每一个 x 的值，都满足 f (x＋T)＝f (x)，那么函数 f (x)就叫做周期函数，非零常数Ｔ叫做这个函数的周期．

对于一个周期函数 f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．

结论：正弦函数是一个周期函数， 2 k π (k Î Z，且k≠0)都是它的周期，2 π 是其最小正周期．

（3）奇偶性

由公式sin（－x）＝－sin x得知，正弦函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．

（4）单调性

正弦函数在闭区间

［－＋2 k π，＋2 k π］(kÎZ)上是增函数；在闭区间

［＋2 k π，＋2 k π］(kÎZ)上是减函数．

例2  求使函数 y＝2＋sin x 取最大值和最小值的

的集合，并求这个函数的最大值、最小值和周期．

练习：教材 P 154，练习A组第1、2题．

例3  不求值，比较下列各对正弦值的大小：

（1）sin(－)与 sin(－)；

（2）sin 与 sin ．

师：将圆等分的份数越多，图象越精确．

因为sin(a＋k × 2 π)＝sina (kÎZ)，所以正弦函数 y＝sin x在

xÎ(－2π，0)，(2π，4π)，(4π，6π)，…时的图象与 xÎ (0，2 π)的形状完全一样，只是位置不同．

师：观察 y＝sin x，xÎ [0，2π]的图象，最高点是哪个？最低点是哪个？图象与 x 轴有几个交点？分别是什么？

师问：在 xÎ [0，2 π]这一区间上，哪几个点对图象的形状起着关键作用？有几个？

师：在精确度要求不高的情况下，“五点法”是最常用的画正弦函数图象的方法．

师生对例1小结：函数

y＝1＋sin x，xÎ [0，2 π] 的图象是由 y＝sin x，xÎ [0，2 π]的图象向上平移一个单位得到的．

师：复习 y＝sin x，xÎR图象．

（1）观察图象可知，各角的正弦线的长度都小于或等于单位圆半径长度1，这表明：正弦函数的范围是［－1，1］．

师：你能通过观察正弦函数图象得到这个性质吗？

生：因为正弦曲线分布在两条平行直线y＝1和y＝－1之间．所以正弦函数的值域是［－1，1］．

（2）由公式

sin(x＋k × 2 π)＝sin x (kÎZ)可知：当自变量 x 的值每增加或减少2 π 的整数倍时，正弦函数的值重复出现．

由正弦曲线图象可知，当自变量x的值每增加或减少2 π 的整数倍时，正弦函数的图象重复出现．

（3）师：如何判断函数的奇偶性？

生：偶函数 Û f (－x)＝f (x)，偶函数图象关于y轴对称．

奇函数 Û f (－x)＝－f (x)，奇函数图象关于坐标原点对称．

（4）随着单位圆中正弦线的变化，体会正弦函数的单调性．学生总结正弦函数的单调性．

师：在正弦函数图象上，函数单调性是如何体现出来的？

生：正弦函数在［－＋2kπ，＋2kπ］(kÎZ)上，图象是上升的，在［＋2kπ，＋2kπ］(kÎZ)上，图象是下降的．

教师将例2结合函数图象讲解，在练习后小结:函数 y＝2＋sin x， y＝2－sin x的图象与 y＝sin x的关系，求它们最大值、最小值的规律．

教师将例3结合正弦函数图象讲解如何比较函数值的大小，然后再引导学生一起写出解题步骤．

用正弦线画图的方法比较复杂，所以将它分为五个小步骤，使学生明确画图的方法．

在教师的引导下，让学生自己观察出图象的最高点，最低点，与 x 轴交点，便于记忆五个点坐标，同时为下节课利用图象研究性质打基础．

巩固“五点法”作图，并在教师引导下发现函数y＝1＋sin x 与y＝sin x图象间的关系，为例2求函数的最大值、最小值作准备．

培养学生“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃．

教师引导学生从诱导公式（数）和正弦曲线（形）两个角度探究正弦函数的值域、周期性和奇偶性等性质．

利用两个例题，使学生更好地理解函数性质的应用，进一步渗透数形结合的思想．

小

结

1．“五点法”作图；

2．2．正弦函数的图象和性质．

教师小结典型例题及解题规律．

利用典型题目，再次强调数形结合解题的思想．

5.3.2  余弦函数的图象和性质

【目标】

1. 理解并掌握余弦函数的图象和性质，会用“五点法”画出余弦函数的简图．

2. 进一步掌握数形结合研究函数的方法．

【重点】

余弦函数的图象和性质.

【难点】

余弦曲线的得出．

【方法】

本节课主要采用观察图象与代数分析相结合的方法．先用简单的五点法画出余弦曲线，设置问题观察余弦曲线，结合诱导公式,得出余弦函数的性质．通过例题，进一步渗透数形结合研究函数的方法．

【过程】

环节

内容

师生互动

意图

复

习

复习诱导公式以及特殊角的余弦函数值．

教师提问，学生作答。

为用描点法得出余弦函数图象做准备．

新

课

新

课

余弦函数 y＝cos x，xÎR

1. 余弦函数的图象．

根据角x+ k·2π与角x的余弦值相等，我们可以利用 (0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2 π，1)这五个点作出余弦函数的简图.然后再沿x轴向左、右分别平移2π，4π，… 就可得到y＝cos x，xÎR的图象.

余弦函数的图象叫做余弦曲线.

2. 余弦函数的性质．

由单位圆中的余弦线或余弦函数图象,可得余弦函数的性质：

（1）值域：［－1，1］

当 x＝2 k π，k Î Z 时， y max ＝1；

当 x＝(2k＋1)π，kÎZ时，y min ＝－1．

（2）周期性

余弦函数是一个周期函数，2p，

4 p，… ，－2p，－4p，…， 2 kπ (kÎZ且k≠0)，都是它的周期，2 π 是其最小正周期．

（3）奇偶性

由公式cos(－x)＝cos x 得知，余弦函数是偶函数，图象关于y轴对称．

（4）单调性

余弦函数在闭区间［(2 k－1)π，2 k π］(kÎZ)上，是增函数；在闭区间

［2kπ，(2k＋1)π］(kÎZ)上是减函数．

例1  求下列函数的最大值、最小值和周期．

(1) y＝5cos x；

(2) y＝－8cos(－x)．

练习1  教材P157，练习A组第1题．

例2  不求值，比较下列各对余弦值的大小：

(1) cos 与 cos ；

(2) cos(－ )与cos(－ )．

练习2  教材P157，练习B组第1题．

教师利用函数观点讲解y与x间的对应关系．

师：观察 y＝cos x，xÎ [0，2π]的图象，最高点是哪个？最低点是哪个？图象与x轴有几个交点？分别是什么？

师：在精确度要求不高的情况下，“五点法”是最常用的画余弦函数图象的方法．

师：在［0，2 π］上，图象的最高点、最低点坐标分别是什么？在定义域R上呢？

因为 cos(x＋k×2 π)＝cos x (kÎZ)，所以余弦函数 y＝cos x 在 x Î [－2 π，0]，[2 π，4 π]，[4 π，6π]，… 时的图象与 xÎ [0，2 π] 的形状完全一样，只是位置不同．所以余弦函数的图象每隔2 π重复出现．

由图5-17亦可以看出，角a和角－a的余弦值是相等的．

师：余弦函数图象的升降情况是怎样的？

生：余弦函数在［(2k－1)π，2 k π］(kÎZ)上，图象是上升的，在［2 k π，(2k＋1)π］(kÎZ)上，图象是下降的．

教师将例1结合函数图象讲解，在练习后小结：各种函数图象与 y＝cos x图象的关系，求函数最大值、最小值的规律．

教师将例2结合诱导公式和余弦函数图象，讲解如何比较函数值的大小，然后再引导学生一起写出解题步骤．

教师用问题引导学生观察图象,初步掌握余弦函数图象的形状.

每个性质先用观察余弦函数图象的方法得出，所以教师注意用问题引导学生从哪些方面来考察余弦函数图象，使学生考察时有的放矢．

教师引导学生从诱导公式(数)和余弦函数图象(形)两个角度探究余弦函数的各个性质,培养学生数形结合的思想．

利用两个例题，使学生深入理解余弦函数性质，进一步渗透数形结合的思想．

小

结

1.“五点法”作图．

2. 余弦函数的图象．

3. 余弦函数的性质．

教师小结典型例题及解题规律．

利用典型题目，再次强调数形结合解题的思想．

5.3.3  已知三角函数值求角

【目标】

1. 理解并掌握已知三角函数值求角的方法．

2. 培养观察问题，分析问题，类比解决问题的能力．

3. 渗透数形结合的思想．

【重点】已知一个角的三角函数值，求指定范围内的角．

【难点】已知一个角的三角函数值，求指定范围内的角．

【方法】 采用观察、启发探究、类比的方法，观察分析三角函数的图象，学会已知正弦值求角，并总结出这类题的解题步骤；对于由已知余弦值或正切值求角，可在教师的问题引导下类比求解．

环节

内容

师生互动

意图

导

入

复习：特殊角的三角函数值；诱导公式，三角函数的简图．

师：我们知道sin ＝，反过来，若 sin x＝，则 x 等于多少 ？x 的值只有吗？我们这节课就来研究这个问题：已知三角函数值求角．

复习旧知，导入新课．

新

课

新

课

1．已知正弦值，求角．

例1  已知sin x＝，且xÎ[0，2 π)，求 x 的取值集合．

解  因为 sin x＝，

所以  x是第一或第二象限的角．

由  sin ＝

可知符号条件的第一象限的角是.

又由sin(π－)＝sin ＝，

可知符合条件的第二象限的角是．

于是所求的角x的取值集合为{，}．

例2  已知角xÎ[－，]，求满足下列各式的x的值:

(1) sin x＝ ；(2) sin x＝；

(3) sin x＝－；  (4) sin x＝0.2672．

解  (1) 因为在[－，]上，

sin ＝，

所以x＝ ；

(2) 因为在[－，]上，

sin ＝，

所以  x＝ ；

(3) 因为在[－，]上，

sin(－)＝－，

所以  x＝－；

(4)使用函数计算器解题．（略）

例3  已知 sin x＝－0.2156，

且－180°≤x≤180°，求 x ．

解  因为  sin x＝－0.2156，

所以 x 是第三或第四象限的角．

先求符合sin x＝0.2156的锐角x，

使用函数计算器解得x≈12°27．

因为sin(－12°27¢ )＝－sin 12°27¢

＝－0.215 6，

且sin(12°27¢－180°)＝－sin12°27¢

＝－0.215 6．

所以当－180°≤x≤180°时，所求的角分别是 －12°27¢ 和 －167°33¢．

2．已知余弦值、正切值，求角．

例4  已知cos x ＝－，

且xÎ[0，2π)，求x的取值集合．

解  因为cos x ＝－ ，

所以 x 是第二或第三象限的角．

又因为  cos ＝，

所以符合条件的锐角是 ，

因为cos(π－)＝－cos ＝－，

且cos(π＋)＝－cos ＝－．

所以符号条件的第二象限角是，符号条件的第三象限角是．

于是所求角的集合为{，}．

例5  已知tan x＝－，且

xÎ (－，)，求x 的值．

解 因为tan x＝－，

所以 x 是第四象限的角．

又因为  tan ＝，

所以符号条件的锐角是 ．

又因为tan（－）＝－tan ＝－，

所以所求角的x ＝－．

教师提示的得出，既可以用诱导公式，也可以根据正弦函数图象．

师小结解题步骤：

1．定象限．

2．求锐角．

3．写形式．

例2教师可作一个，其他让学生自己练习．

对比例１与例2，提问：为什么例１有两个解，而例2的题目只有一个解？

通过例3，教师再次强调已知三角函数值求角的三个步骤：

1．定象限．

2．求锐角．

3．写形式．

教师可引导学生复习已知三角函数值求角的三个步骤：

1．定象限．

2．求锐角．

3．写形式．

在此基础上，让学生自己解决例4．

小结解题步骤，给学生做题以明确的思路．

对比例１与例2，使学生明确已知三角函数值求角时，所给区间的重要性．

巩固做题步骤．

在此，可让学生结合余弦函数图象，验证结论是否正确，培养数形结合的思想.

小

结

1．已知正弦值，求角．

2．已知余弦值，正切值，求角．

两类题目的解题步骤：

(1) 定象限；

(2) 求锐角；

(3) 写形式．

师生一起总结本节内容与解题步骤．

通过总结，统一各例题的解题思路．