第10讲：《偏导数及其基本计算方法》内容小结、课件与典型例题与练习

1、二元函数偏导数的定义

设函数 在点 的某一邻域内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应地函数有关于 的偏增量：

如果极限

存在，则称此极限为函数 在点 处关于变量 的偏导数，记作

类似地，称极限

为函数 在点   处关于变量 的偏导数，记作

【注1】 初等多元函数在定义区域内都是可导的！

【注2】 函数在一点处的偏导数存在，不能推出该函数在该点连续；函数在该一点连续，也不能推出函数在该点处偏导数存在. 函数在一点偏导数存在，仅仅说明函数作为相应变量的一元函数在该点处可导与连续，或者说函数的变量仅仅沿着相应坐标轴方向变化时函数可导与连续，沿着其他方向变化时函数的连续性不能确定. 如 在 处 存在，则仅仅当点 时函数可导与连续. 如果 存在，且有偏微分中值定理的结论，即

其中 介于 之间.

类似有关于 变量的偏微分中值定理，

其中 介于 之间.

2、偏导数的几何意义

平行于坐标面的平面上的曲线沿着坐标轴方向的切线的斜率.

3、偏导函数的计算

偏导数的计算过程其实就是一元函数的求导过程：

• 对于非间断点处，使用一元函数求导运算法则求多元函数关于某个变量的偏导数，求导过程中其余变量视为常量即可.

• 对于间断点处的偏导数使用偏导数的定义判断偏导数的存在性，并计算偏导数.

• 对于具体点处的偏导数一般采用“先代后求”的计算法，或者定义法计算偏导数，如果需要计算多点的偏导数，则一般采用“先求（偏导函数）后代”的方法计算.

先代后求:

先求后代:

4、二阶偏导数的定义

二元函数 在区域 上的偏导数仍然是自变量 的函数，进一步，对这两个偏导函数分别对 求偏导数，则有如下四个二阶偏导数：

分别记作

对于包含有不同变量的导数称为混合偏导数，如 .

5、混合偏导数相等的判定定理

定理 如果函数 的两个混合偏导数在点 处连续，则二阶混合偏导数与求导先后顺序无关，即

【注1】 对于分段函数的导函数或高阶导数在分界点的连续性和可导性的讨论，以及导数值的计算，一般都要先计算得到该函数的导函数以后，然后再使用定义的方法对分界点的连续性和可导性进行判定，或完成相关的计算。对于初等多元函数导函数的计算，在定义区域内应用求导法则直接求导函数，对于间断点处使用定义法求导数值和判定可导性。

【注2】 由于二元初等函数及其各阶偏导数在其定义区域内连续，因而在定义区域内二元初等函数的二阶混合偏导数与 的先后次序无关．也即对于高阶混合偏导数的计算，可以根据函数的结构特点，选择合适的求导次序求偏导数.

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！

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